Question

设函数f(x)=alnx+1/2ax²-2x,a∈R

(Ⅰ)当a=1时,试求函数f(x)在区间【1,e】上的最大值
（2）当a大于等于0时，试求函数f(x)的单调区间

Answer 1

1、
a=1时，f(x)=lnx+x²/2-2x，定义域为：x>0；
f'(x)=1/x+x-2=(x²-2x+1)/x=(x-1)²/x≧0
所以，f(x)在区间【1，e】上单调递增
所以，当x=e时，f(x)有最大值f(e)=e²/2-2e+1；

2、
f'(x)=1/x+ax-2=(ax²-2x+1)/x ，x>0；
a=0时，f'(x)=(-2x+1)/x<0，得：x>1/2；f(x)递增区间为(0,1/2)，递减区间为(1/2,+∞)；
a=1时，由1知，f(x)的递增区间为(0,+∞)；
0<a<1时，f'(x)<0，得：1-√(1-a)<x<1+√(1-a)，
所以，f(x)的递减区间为（1-√(1-a)，1+√(1-a)）
递增区间为（0，1-√(1-a)），（1+√(1-a)，+∞）
a>1是，f'(x)>0恒成立，所以，f(x)的递增区间为(0,+∞)；

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Answer 2

解：
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=1时，f（x）=1nx+x^2/2-2x，
因为f′(x)=1/x+x-2=(x-1)/x≥0
所以函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，
则当x=e时，函数f（x）取得最大值f（e）=1+e^2/2-2e．

（Ⅱ）求导函数，可得f′(x)=(ax^2-2x+a)/x
当a=0时，
因为f′（x）=-2＜0，
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，
（1）当△=4-4a^2≤0时，
即a≥1时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（2）当△=4-4a^2＞0时，
即0＜a＜1时，由f′（x）＞0，解得
0＜x＜[1-√（1－a^2）]/a，或x＞[1+√（1－a^2）]/a
由f′（x）＜0解得
[1-√（1－a^2）]/a＜x＜[1+√（1－a^2）]/a
所以当0＜a＜1时，
函数f（x）在区间(0，[1-√（1－a^2）]/a)上单调递增；
在([1-√（1－a^2）]/a，[1+√（1－a^2）]/a)上单调递减，
在([1+√（1－a^2）]/a，+∞)单调递增

Answer 3

1) a=1时，f(x)=lnx+1/2x^2-2x
f'(x)=1/x+x-2=(x^2-2x+1)/x=(x-1)^2/x>=0
因此f(x)在定义域x>0上单调增
在区间[1, e]上最大值为f(e)=1+1/2*e^2-2e

2)a>=0时，f'(x)=a/x+ax-2=(ax^2-2x+a)/x
a=0时，f(x)=-2x, 在定义域x>0上单调减
0<a<1时，由f'(x)=0, 得：x1=[1+√(1-a^2)]/a, x2=[1-√(1-a^2)]/a
当x>x1时或0<x<x2时，单调增
当x2<x<x1时，单调减
a=1时，由上，在定义域x>0上单调增
a>1时，因为f'(x)恒大于0，所以在定义域x>0上单调增