Question

急求一道高一数学题，很急很急！！！！！！！！！

如题：设0<α<β<π/2,0<θ<π/2 求证sin(θ+α)/sin(θ+β)>sinα/sinβ

Answer 1

0<α<β<π/2 则有sinα>0, sinβ>0， sinθ>0
cossα>0 ,cosβ>0,cosθ>0

sin(θ+α)/sin(θ+β)>sinα/sinβ
须证明
sin(θ+α)*sinβ>sin(θ+β)*sinα
(sinθcosα+sinαcosθ)sinβ>(sinθcosβ+sinβcosθ)sinα
sinθsinβcosα+sinαsinβcosθ>sinαsinθcosβ+sinαsinβ*cosθ

两边同减去sinαsinβcosθ
得sinθsinβcosα>sinαsinθcosβ

两边同除以sinθ
sinβcosα>sinαcosβ
sinβcosα-sinαcosβ>0
sin(β-α)>0
∵0<α<β<π/2
∴β-α>0
sin(β-α)>0
证完

Answer 2

sin(θ+α)=sinθcosα+sinαcosθ
sin(θ+β)=sinθcosβ+cosθsinβ
所以，若要证明
sin(θ+α)/sin(θ+β)=(sinθcosα+sinαcosθ)/(sinθcosβ+cosθsinβ)>sinα/sinβ
则必须证明：
(sinθcosα+sinαcosθ)*sinβ>(sinθcosβ+cosθsinβ)*sinα
即要证明：
sinθcosαsinβ+sinαcosθsinβ>sinθcosβsinα+cosθsinβsinα
两边同时约掉sinαcosθsinβ
所以，即要证明
sinθcosαsinβ>sinθcosβsinα
=>sinθcosαsinβ-sinθcosβsinα>0
=>sinθ(cosαsinβ-cosβsinα)>0
=>sinθsin(β-α)>0
又因为
f(x)=sinx 在（0，π/2）上单调递增，且0<α<β<π/2,0<θ<π/2
所以sinθ>0,sin(β-α)>0
得证

θ β α β