Question

二次函数fx=ax^2+bx+c(a＞0且c＞0）图像与x轴有两个不同交点其中一个为（c,0）当0＜x＜c 恒有fx＞0

二次函数的图像与坐标轴的三个交点形成的三角形面积是8 求a
求a的取值范围

Answer 1

根据题意，函数与x轴交点都在y轴右面，且点(c,0)只能是函数与x轴交点中的左面那个
记为x1，右面的记为x2，则：x1+x2=-b/a，即c+x2=-b/a，所以x2-c=-b/a-2c
函数左面与x轴的交点为((-b-sqrt(b^2-4ac))/2a,0)
所以c=(-b-sqrt(b^2-4ac))/2a，即：sqrt(b^2-4ac)=-b-2ac，故：b+ac=-1 (1)
题中三角形的面积s=(1/2)*(x2-c)*c=(1/2)*(-b/a-2c)*c=8，即：-bc/a-2c^2=16 (2)
将(1)代入(2)得：(ac+1)c-2ac^2=16a，即：c-ac^2=16a，故：a=c/(c^2+16)
c^2+16恒大于c，即0<a<1

Answer 2

我告诉你大概的思路吧：方法一：首先，二次函数a>0，开口向上，与x轴有两个不同的交点，那么第三个交点在Y轴上，坐标为（0，c),形成的三角形可以看作是平行四边形的一半，高就是c，当0＜x＜c 恒有fx＞0，则说明函数的两个交点在y轴的同侧，比较c与另外一个交点的大小（应该在x轴的正方向），其中平行四边形的短边为两交点的差值，长边为交点较大值的坐标
方法二：利用韦达定理导出（x1-x2)关于a、b、c的关系（前提是确定x1、x2的大小，然后利用面积；
方法三：利用面积，利用两个直角三角形面积只差为8可以计算