Question

如图所示，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与X、Y轴分别相交于A（-6，0）B（0，-8）两点。

如图所示，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与X、Y轴分别相交于A（-6，0）B（0，-8）两点。
1.请求出直线AB的解析式
2.若有一条抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下。且经过点B，求此时抛物线的函数表达式
3.设（2）中的抛物线交X轴与D、E，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=1/15S△ABC？若存在，请求出P。不存在，请说明理由~~~~~~

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
根据题意，得：6k+b=0b=-8​
解之，得k=43，b=-8
∴直线AB的解析式为y=43x-8

（2）设抛物线对称轴交x轴于F，
∵∠AOB=90°，
∴AB为圆M的直径，即AM=BM，
∴抛物线的对称轴经过点M，且与y轴平行，OA=6，
∴对称轴方程为x=3，
作对称轴交圆M于C，
∴MF是△AOB的中位线，
∴MF=12BO=4，
∴CF=CM-MF=1，
∵点C（3，1），由题意可知C（3，1）就是所求抛物线的顶点．
方法一：设抛物线解析式为y=a（x-3）2+1，
∵抛物线过点B（0，-8），
∴-8=a（0-3）2+1，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-3）2+1或y=-x2+6x-8；

方法二：∵抛物线过点B（0，-8），
∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx-8，
由题意可得：-
b2a=34a？(-8)-b24a=1​，
∴a=-1，b=6，
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-8；

（3）令-x2+6x-8=0，得x1=2，x2=4，
∴D（2，0），E（4，0），
设P（x，y），
则S△PDE=12•DE•|y|=12×2|y|=|y|，
S△ABC=S△BCM+S△ACM=12•CM•（3+3）=12×5×6=15，
若存在这样的点P，则有|y|=15×15=3，
从而y=±3，
当y=3时，-x2+6x-8=3，
整理得：x2-6x+11=0，
∵△=（-6）2-4×11＜0，
∴此方程无实数根；
当y=-3时，-x2+6x-8=-3，
整理得：x2-6x+5=0，
解得：x1=1，x2=5，
∴这样的P点存在，且有两个这样的点：P1（1，-3），P2（5，-3）．

Answer 2

解：1、直线斜率k=-8/6，y=kx+b，代入A点坐标，有0=-（8/6）×（-6）+b，b=-8，有直线AB的解析式y=-(4/3)x-8。
2、因为AB弦对应的圆周角为直角，所以AB就是圆的直径，AB的中点即为圆心M（-3，-4）。
圆半径为0.5AB=0.5√（6²+8²）=5，圆的方程为（x+3）²+（y+4）²=5²。
抛物线对称轴为x=-3，代入圆方程，求出y=1（舍去y=-9），C点坐标为（-3,1）。抛物线方程为y=a（x+3）²+1，代入B点坐标，求出a=-1，方程为y=-（x+3）²+1
3、y=0代入抛物线方程，得到D点坐标（-4,0）E点（-2,0）。AC=√10，BC=3√10，AB=10，根据海伦公式△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=1/2(a+b+c)，求1/15S△ABC=15/15=1。S△CDE=1。
设PE中点绘制的平行于抛物线对称轴的直线与抛物线交点为F，根据弓形面积公式，若有S△PDE=(4/3)(S△PDF-S△CDE）=1/15S△ABC=1，则S△PDF=3/4+S△CDE=7/4。继续利用海伦公式，可以求出P点坐标。

Answer 3

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/a6b33bcd-2005-41b2-96e7-8131412093f2