Question

线性代数秩的问题

题目:若三维列向量α，β满足αTβ＝2，求βTα的非零特征值？
疑问:两者阶数不同，能否用公式R（A）＝R（A∧T）？若不能，此题答案直接给出后者秩为1，怎么解释？
如果已知秩为2或其他非1常数，有没有办法判断秩和特征值之间的关系？
（矩阵的秩能够宏观上把握方程组的解，能不能类似地帮助把握特征值的结构？）
为什么正定矩阵其对角元均必须大于零？
考研党，问题有点多，一次性都爆发了。望刘老师给予解答，谢谢！

Answer 1

--能否用公式R（A）＝R（A∧T）

这是什么公式?
由已知 βTα 是非零矩阵, 所以 r(βTα)>=1
又 r(βTα) <= r(β) <=1
所以 r(βTα) = 1.

-- 如果已知秩为2或其他非1常数，有没有办法判断秩和特征值之间的关系？
在A可对角化的前提下, A的秩等于A的非零特征值的个数
比如: 3阶实对称矩阵A满足 A^2=2A, 且 r(A)=2, 试确定A的特征值
就用到这个结论.

--为什么正定矩阵其对角元均必须大于零？
A正定有一个充分必要条件是A的主子式都大于0.
对角线元是1阶主子式,所以大于0.

PS. 问题多不怕, 但注意要分开提问. 好解释,好追问.
再, 不要在补充里加"刘老师"解答, 别人看到答不答? 我看不到你这个问题(你不是直接求助的)你会不会认为我不答你的提问?

Answer 2

的确如楼上所说，本来还想看看的，看到你最后一句果断不答了，不过也许你也没指望我们来答 哈哈