Question

如图所示，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
谢谢！

Answer 1

√
(1)、由y=x2-1知A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1）。
（2）、由A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1）可求出BC直线为y=x-1，从而设AP直线为y=x+b，将A（-1,0）代入得b=1，所以AP直线为y=x+1，
将y=x+1代入y=x2-1得P（2,3）或（-1,0）（舍去，因与A重合），所以三角形APB的高h=3，
又由A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1）知AB=2，三角形ACB的高OC=1。
所以S四边形ACPB=S三角形APB+S三角形ABC=4.
（3）存在。
由A（-1,0）、B（1,0）、C（0,-1），知AC=√2，BC=√2，AB=2，
根据勾股定理得三角形ACB为Rt三角形，且角ACB为直角，以AC垂直于BC，又因AP∥CB，即AP垂直于AC，所以三角形ACP为Rt三角形，且角PAC为直角，又由A（-1,0）、P（2,3）得AP=3√2.
根据y=x2-1设M（a，a2-1），则MG=a2-1，AG=-1-a或AG=a+1，
又因MG⊥x轴，即角MGA=角PAC=直角，所以AP：MG=AC:AG,可求得符合条件的a=4
即M（4,15）。

Answer 2

解：（1）令y=0，得x2-1=0，
解得x=±1，
令x=0，得y=x-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴
0=k+b-1=b
，得，
b=-1k=1
∴y=x-1；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1），
∵点P在抛物线y=x2-1上，
∴a+1=a2-1
解得：a1=2，a2=-1（不合题意，舍去），
∴PE=3，
∴四边形ACBP的面积=1/2 xAB×OC+1/2xAB×PE=1+3=4；
（3）假设存在．
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠MNA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=2 ，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=32 ，
设M点的横坐标m，则M（m，m2-1），
①点M在y轴右侧时，则m＞1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=m+1，MN=m2-1，
AN/AP=MN/AC ，即m+1/32 =m2-1 /2 ，
解得：m=4/3 ，∴M(4/3,7/9 ）；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
AN /AC =MN /AP 即
m+1 /2 =m2-1 /32 ，
解得：m=4，
∴M（4，15）；
②点M在y轴左侧时，则m＜-1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴AN /AP =MN /AC ，
∴-m-1 /32 =m2-1/2 ，
解得m1=1（舍去），m2=2 /3 （舍去），
∴M不存在；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴MN /PA =AN /AC ，m2-1 /32 =-m-1 /2 ，
解得：m1=1（舍去），m2=-2，
∴M（-2，3），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（4 /3 ,7 /9 ），（4，15）．