Question

设α为n维列向量，α^Tα=1,方阵A=E-αα^T，试证|A|=0

Answer 1

右乘α 得 Aα=α-αα'α=α-α=0

下面反证
A为方阵，假设|A|≠0
则A可逆 即 α=0；这明显与α‘α=1矛盾 假设不成立
故|A|=0

Answer 2

A^2=E^2-Eaa^T-aa^TE+a(a^Ta)a^T=E-aa^T=A，所以|A^2|=|A|^2=|A|，|A|=0或|A|=1。若A=1，则A可逆，由A^2=A=AE得A=E，与A定义矛盾