Question

已知函数f(x)=2\3x+1\2,h(x)=根号x （1）设a属于R，解关于x的方程lg[3\2f(x-1)-3\4]=2lgh(a-x)-2lgh(4-x)

(2）设a属于正自然数，f(n)h(n)-[h(1)+h(2)+........+h(n)>=1\6

Answer 1

(1)∵f(x-1)=2/3(x-1)+1/2=2/3x-1/6

∴3/2f(x-1)-3/4=x-1/4-3/4=x-1① (x>1)

∵h(x)=√x

∴2lgh(a-x)-2lgh(4-x)=lg√(a-x)²-lgh√(4-x)²=lg(a-x)/(4-x)② (x<4)
∴①②得 x-1=(a-x)/(4-x)

化简得-a=x²-6x+4=(x-3)²-5 (1<x<4)
1<x<4,(x-3)²-5∈[-5,-4]∪[-4,-1)
[(x-3)²=5-a→x-3=±√(5-a)→x=3±√(5-a)]

当-a=-5时(即a=5),方程有一个解为x=3

当-a<-5时,或-a>-1时方程无解(即a<1,或a>5时),方程无解,
当-4<-a≤-1(即1≤a<4),方程有一个解,为x=3-√(5-a),
当-5<x≤-4(即4≤a<5),方程有两个解,为x=3+√(5-a)和x=3-√(5-a)

(2)
当n=1时,左边=f(1)h(1)-h(1)=(2/3+1/2-1)=1/6,不等式成立
假设当n=k(k∈正自然数),不等式f(k)h(k)-[h(1)+h(2)+........+h(k)]>=1/6成立,
f(k)h(k)=(2/3k+1/2)*√k④

当n=k+1时,
⑤f(k+1)h(k+1)-[h(1)+h(2)+........+h(k)+h(k+1)]

=[2/3(k+1)+1/2]√(k+1)-[h(1)+h(2)+........+h(k)]
=(2/3k+7/6-1)√(k+1)-[h(1)+h(2)+........+h(k)]
=(2/3k+1/6)√(k+1)-[h(1)+h(2)+........+h(k)]

(2/3k+1/6)√(k+1)
=√[(2/3k+1/6)²(k+1)]
=√[(2/3k+1/2)²k+1/36]
>(2/3k+1/2)√k=④
∴⑤>f(k)h(k)-[h(1)+h(2)+........+h(k)]>=1/6

n=1且n=k+1时,不等式皆成立,故对于正自然数n,不等式都成立
得证.