Question

已知圆x²+y²+x-6y+m和直线

已知圆x²+y²+x-6y+m和直线x+2y-3=0交于P,Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点）求该圆圆心坐标 半径
详细过程！谢谢

Answer 1

设PQ的中点为R

x²+y²+x-6y+m = 0

(x + 1/2)² + (y - 3)² = 9 + 1/4 - m

圆心C(-1/2, 3)

直线x+2y-3=0, y = -x/2 + 3/2,斜率为 -1/2

CR斜率为2, 方程为y - 3 = 2(x + 1/2)

联立得R(-1, 2)

直线x+2y-3=0, x = 3 - 2x

设P(3-2a, a), Q(p, q), PQ的中点为R(-1, 2)

-1 = (3 - 2a + p)/2, p = 2a - 5

2 = (a + q)/2, q = 4 - a

Q(2a -5, 4 - a)

OP斜率 u = a/(3 - 2a)

OQ斜率 v = (4 - a)/(2a - 5)

uv = -1

a² - 4a + 3 = 0

(a - 1)(a - 3) = 0

a = 1, P(1, 1), Q(-3, 3)

a = 3, P(-3, 3), Q(1, 1)

二者等价

半径 = CP = √[(-1/2 - 1)² + (3 -1)²] = 5/2

Answer 2

设P（x1,y1),Q(x2,y2),用圆的方程和直线的方程联立得：5y^2-20y+12+m=0,
由未达定理得：y1+y2=4,y1y2=(12+m)/5
因为OP垂直于OQ
所以斜率之积为零，即得：x1x2+y1y2=0,
5y1y2-6(y1+y2)+9=0
带入未达定理并解之得m=3
所以圆心(-1/2,3),半径为5/2