Question

数学题　已知F1,F2是椭圆的两个焦点，点p在椭圆上，角F1pF2=60度，求椭圆离心率的取值范围。

Answer 1

设椭圆焦点在x轴，方程为
x^2/a^2+y^2/b^2=1
设椭圆上的点P(acost,bsint)
F1(c,0),F2(-c,0)
cos∠F1PF2=(PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2*PF1*PF2)
1/2=[(PF1+PF2)^2-2PF1*PF2-F1F2^2)/(2*PF1*PF2)
不能打字了。

Answer 2

∵当P在Y轴上时∠F1PF2最大
∴P在Y轴上时∠F1PF2≥60°，则∠OPF1≥30°
sin∠OPF1≥sin30°=1/2
则e＝c/a＝sin∠OPF1≥sin30°=1/2
∵椭圆离心率小于1
∴1/2≤e<1

Answer 3

设P（x，y).直线PF1 PF2的斜率为（y-c)/x、（y+c)/x。
tan∠F1PF2=【（y-c)/x-(y+c)/x]/[1+(y-c)/x*(y+c)/x]=根号3
根号3x²+根号3y²+2cx-根号3c²=0
∵y²=b²-b²x²/a²代入上式中整理得：根号3c²x²/a²+2cx+根号3（a²-2c²）=0
△=4c²-12c²+24c^4/a^2>=0∴c²/a²>=1/3
故 根号3/3<=e=c/a<1

Answer 4

他们的很麻烦,P点落在以F1F2为弦,角F1pF2=60的圆上,当P点与F2重合时,是一个极值,P点与圆上顶点重合时是一个极值,前者a=c   c/a=1,因此,e<1 ,而后者,b=c*cot30,  b=c*根号3   

a=2c  c/a=1/2  故1/2=<e<1

Answer 5

设lPF1l=X,lPF2l=y
x+y=2a，x²+y²+2xy=4a²
x²+y²-2xycos60==4c²，x²+y²-xy=4c²
e=c/a=√（x²+y²-xy）/（x²+y²+2xy）=√1-3xy/（x²+y²+2xy）
3xy/（x²+y²+2xy）≤3/4，所以1-3xy/（x²+y²+2xy）≥1/4，1>e≥1/2