Question

考研2006年某一题的线性代数求解，求请教为什么是这样答案

x1+ x2+ x3 + x4 =-1
4x1+3x2+ 5x3 - x4 =-1
ax1+ x2+ 3x3+bx4 = 1 有3个线性无关的解。

求： 证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2

书本上给的答案是：
设a1,a2,a3是非齐次方程组的Ax=b的3个线性无关的解，所以a1-a2, a2-a3是Ax=0线性无关的解。 所以 n-R(A)>= 2 即R(A)<=2;
再者，显然，矩阵A中有2阶子式非0，所以R(A)>=2

最终R(A)=2

我的疑问是， 整个答案的过程我基本了解，除了这句“ 所以 n-R(A)>= 2 即R(A)<=2;”
为什么在 n-R(A)>= 2 是大于等于2 而不是 n-R(A)= 2 啊

非常不解，有些跳跃，求指点弥精，点我一下

Answer 1

Ax=0有至少2组线性无关的解，既a1-a2 , a2-a3 而线性代数上面有 n-R（A）=齐次方程的无关解的个数（至少2个就是大于等于）！

追问

我就是想问，为什么是大于等于，而不是 等于。

如你所说的， 线性代数上面有 n-R（A）=齐次方程的无关解的个数

我当初也是这样记忆的，但是就不清楚为什么是大于等，而不是 等于

追答

都说是至少2个无关解了，就是说可能2个也可能3个，如果是等于那不就只有2个这一种了。上面已经解释了，如果你没理解清楚那你只能认认真真的重头看课本了，吧思路理清楚。

Answer 2

有3个线性无关的解

说明第二行和第三行可以全消成0
然后就简单了。

追问

不是很明白，能再详细一点么

追答

有4个未知数，3个解向量，说明有3个无关的基础解系，也就是说，增广矩阵的秩是1

追问

额，这个我清楚。我只是想问，为什么是大于等于，而不是 等于。
你回答的也对，但是貌似不在我点子上。 不好意思啊

追答

那是数学上的称呼。说明并不是所有情况下都是等号，严格起见