Question

求助大神：若lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0 则lim [6+f(x)]/x^2=? 两个极限x都趋于0，请指出我的错误

lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0的分子分母同除以x，分子则变成(sin6x)/x+f(x),然后把(sin6x)/x的分子分母同乘以6，根据两个重要极限的推广，(sin6x)/6x=1，请问这么做为啥不对呢？哪里犯了概念性错误？

Answer 1

这道题之前我已经解释过了，在这里只给你复制一下。
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
你的这一步是错误的，等价无穷小的替换原则只能是因式乘积时候才可以。举个简单例子
lim x→0 [sinx-x]/x^3，如果按照你的那种做法，显然结果是0。实际上答案是-1/6.
此处应用的是一个很重要的公式——泰勒公式（只展开有限项目，后边的高阶项可视为高阶无穷小）
sinx=x-1/6*x^3.
回到你的这道题，
lim [sin6x+xf(x)]/x^3=0
也就是 lim[6x-1/6*(6x)^3+xf(x)]/x^3=0
后边可以自己做了。

另外，下面的解法也是错误的：
lim x→0 [sin6x+xf(x)]/x^3
=lim sin6x /x^3+ lim xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6x+xf(x)]/x^3
=lim x→0 [6+f(x)]/x^2
。
很显然，这样子也是错误的。错误在于第一步将极限拆分，也就是应用极限的四则运算，此时要严格按照四则运算的前提条件，也就是拆分后两部分的极限都存在。很显然lim sin6x /x^3极限为无穷大，不存在，故不可拆分。

Answer 2

数学小糊涂：若x->0时sinx/x->1,你的做法就可以说是完美了;若x->∞,显然为0;
请给出x的极值