高一数学难题
学到必修4,问题如下给出一个数列n²,(n+1)²,(n+2)²,(n+3)²,。。。,(n+α)²求出数列前α项的总和...
学到必修4,问题如下
给出一个数列 n²,(n+1)²,(n+2)²,(n+3)²,。。。,(n+α)²
求出数列前α项的总和的式子,这个不是等差的一般数列似乎,它的之间差值是个变量,求出详细解答 展开
给出一个数列 n²,(n+1)²,(n+2)²,(n+3)²,。。。,(n+α)²
求出数列前α项的总和的式子,这个不是等差的一般数列似乎,它的之间差值是个变量,求出详细解答 展开
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我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1,可以得到下列等式:
(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
(n+2)^3 - (n+1)^3 = 3*(n+1)^2 + 3*(n+1) + 1
(n+3)^3 -(n+2)^3 = 3*(n+2)^2 + 3*(n+2)+ 1
.........
(n+a+1)^3 - (n+a)^3 = 3.(n+a)^2 + 3*(n+a) + 1
以上相加得(n+a+1)^3-n^3=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3【n+(n+1)+(n+2)+...+(n+a)]+a+1
即3n²(a+1)+3n(a+1)²+(a+1)^3=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3*(2n+a)(a+1)/2+a+1
3n²a+3n²+3na²+6na+3n+a^3+3a^2+3a+1=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3na+3n+3/2a^2+3/2a+a+1
3[n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】=3n²a+3n²+3na+3na²+a^3+3/2a²+a/2
故[n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】=n²a+n²+na+na²+a^3/3+a²/2+a/6
(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
(n+2)^3 - (n+1)^3 = 3*(n+1)^2 + 3*(n+1) + 1
(n+3)^3 -(n+2)^3 = 3*(n+2)^2 + 3*(n+2)+ 1
.........
(n+a+1)^3 - (n+a)^3 = 3.(n+a)^2 + 3*(n+a) + 1
以上相加得(n+a+1)^3-n^3=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3【n+(n+1)+(n+2)+...+(n+a)]+a+1
即3n²(a+1)+3n(a+1)²+(a+1)^3=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3*(2n+a)(a+1)/2+a+1
3n²a+3n²+3na²+6na+3n+a^3+3a^2+3a+1=3【n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】+3na+3n+3/2a^2+3/2a+a+1
3[n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】=3n²a+3n²+3na+3na²+a^3+3/2a²+a/2
故[n²+(n+1)²+(n+2)²+...+(n+a)²】=n²a+n²+na+na²+a^3/3+a²/2+a/6
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Oa垂直ob故ab为直径oa等于2t的绝对值ob等于t分之四的绝对直故面积s=0.5oaob=4因为om=on所以o在mn垂直平分线上又圆心与的mn中点连线垂直mn所以圆心及mn中点
o点共线所以圆心及点o连线斜律为
0.5得t等于正负2半径为根号5代人即可
o点共线所以圆心及点o连线斜律为
0.5得t等于正负2半径为根号5代人即可
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这个这样求哈,你的第一项看着是(n+0)²,那么第α项应该是[n+(α-1)]²,你把这平方式展开,你会发现有α个n²对吧,这就是结果的第一部分αn²;第二部分就是0+2*1*n+2*2*n+……+2*(α-1)*n,每项提一个2n出来就剩0+1+2+……+(α-1),这个是等差数列了嘛,这下结果第二项就是2n*(0+α(α-1)/2 );第三部分就是0+1²+2²+(α-1)²,这个是自然数平方和的求和公式,不知道你学过没得:sn=n(n+1)(2n+1)/6 ,也就是结果第三部分是α(α+1)(2α+1)/6 ,所以最终结果是αn²+n*α(α-1)+α(α+1)(2α+1)/6。这个题目你主要要弄清楚n是一个常数,不再是项数的意思了,项数其实是α,这样就比较简单了。希望你能看得懂。
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方法一:
通项a(i)=(n+i-1)² (i=1,2......a);
s(a)=∑(n+i-1)² ;
一阶导数s'(a)=2∑(n+i-1) =2(n*a + a(a-1)/2) =2n*a+a(a-1);
积分s(a)=a*n² + a(a-1)*n +C
C=∑(i-1)²= a(a-1)(2a-1)/6
所以前a项和s(a)=a*n² + a(a-1)*n + a(a-1)(2a-1)/6 .
方法二:
通项a(i)=(n+i-1)² =n² + 2n(i-1) +(i-1)² ; (i=1,2......a);
s(a)=∑(n+i-1)² =∑[ n² + 2n(i-1) +(i-1)² ] = a*n² + a(a-1)*n + a(a-1)(2a-1)/6
回答完毕。
通项a(i)=(n+i-1)² (i=1,2......a);
s(a)=∑(n+i-1)² ;
一阶导数s'(a)=2∑(n+i-1) =2(n*a + a(a-1)/2) =2n*a+a(a-1);
积分s(a)=a*n² + a(a-1)*n +C
C=∑(i-1)²= a(a-1)(2a-1)/6
所以前a项和s(a)=a*n² + a(a-1)*n + a(a-1)(2a-1)/6 .
方法二:
通项a(i)=(n+i-1)² =n² + 2n(i-1) +(i-1)² ; (i=1,2......a);
s(a)=∑(n+i-1)² =∑[ n² + 2n(i-1) +(i-1)² ] = a*n² + a(a-1)*n + a(a-1)(2a-1)/6
回答完毕。
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