Question

设函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=-a/2,3a>2c>2b, 求证(1)a>0,-3<b/a<-3/4:

（2）函数 f(x)
在区间（0，2）内至少有一个零点；
(3)设x1,x2是函数f(X)的两个零点，则√2<=|x1-x2|<√57/4

Answer 1

提示：
可以参考下题
设函数f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)(a、b、c∈Z)为奇函数，又f(1)=2,f(2)＜3,且f(x)在[1，+∞）上递增
（1）求a、b、c的值
(2)当x＜0时，讨论f(x)的单调性

因为F(-x)=-F(x) ,所以 (ax^2+1)/(-bx+c)=- (ax^2+1)/(bx+c)
即　c= 0 ,所以f(x)=(ax^2+1)/(bx)
因为f(1)=2 ,所以 (a+1)/b =2 ,即 a+1=2b
因为f(2)＜3,且f(x)在[1，+∞）上递增　，所以F(1)＜F(2)＜3
所以2＜(4a+1)/2b ＜3　，即 2＜(4a+1)/(a+1)＜3　，解得：(1/2)＜a＜2
所以　a=1 ,b= 1　，所以 F(x)＝(x^2+1)/x

当x＜0时，设m＜n＜0 ,则
F(m)-F(n)＝ (m^2+1)/m - (n^2+1)/n = (1-mn)(n-m)/mn
当 mn＜1时，F(m)-F(n)＞0 ,F（x)递增
当mn≥1时，F(m)-F(n)≤0 ,F（x)递减

Answer 2

设函数f(x)=(ax^2+1)/(bx+c)(a、b、c∈Z)为奇函数，又f(1)=2,f(2)＜3,且f(x)在[1，+∞）上递增
（1）求a、b、c的值
(2)当x＜0时，讨论f(x)的单调性

因为F(-x)=-F(x) ,所以 (ax^2+1)/(-bx+c)=- (ax^2+1)/(bx+c)
即　c= 0 ,所以f(x)=(ax^2+1)/(bx)
因为f(1)=2 ,所以 (a+1)/b =2 ,即 a+1=2b
因为f(2)＜3,且f(x)在[1，+∞）上递增　，所以F(1)＜F(2)＜3
所以2＜(4a+1)/2b ＜3　，即 2＜(4a+1)/(a+1)＜3　，解得：(1/2)＜a＜2
所以　a=1 ,b= 1　，所以 F(x)＝(x^2+1)/x

当x＜0时，设m＜n＜0 ,则
F(m)-F(n)＝ (m^2+1)/m - (n^2+1)/n = (1-mn)(n-m)/mn
当 mn＜1时，F(m)-F(n)＞0 ,F（x)递增
当mn≥1时，F(m)-F(n)≤0 ,F（x)递减