Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x平方+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M；（1）求b、c的值

（2）将三角形OAB绕点B顺时针旋转90度后，点A落到点C的位置，该抛物线沿Y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线 ，且满足三角形PMM1的面积是三角形PAA1面积的3倍，求点P的坐标。

Answer 1

解：∵抛物线y=x^2+bx+c经过A、B，
∴c=3且有：0=1+b+3
b=-4
∴抛物线为：y=x^2-4x+3
=(x-2)^2-1
AB的解析式为：y=-3x+3
∴BC的斜率k=1/3
∴BC的解析式为：y=(1/3)(x-1)
又IABI=√10
设C点坐标为（m，n)，则：m=(1/3)(n-1)
∴√[（m-1)^2+n^2]=√10
∴m^2-2m+1+9m^2+6m+1=10
解之得：m=(-1-√21）/5，m=(-1+√21)/5(不符合题意，舍去）
n=(2-3√21)/5
∴C点坐标为（（-1-√21）/5，(2-3√21)/5)
设经过C点的抛物线为：y=(x-2)^2+a
∴（2-3√21）/5={[(-1-√21)/5]-2}^2+a
∴a=(-132-13√21)/25
∴y=(x-2)^2+(132-13√21)/25
余下的你自己计算吧。

Answer 2

解：
(1)
A(0,3),B(1,0)代入抛物线y=x²+bx+c
c=3
y=x²+bx+3
B(1,0)代入抛物线y=x²+bx+3
0=1+b+3
b=-4
抛物线为：y=x²-4x+3
y=(x-2)²-1
(2)
OA在y轴上
绕点B顺时针旋转90度
OC平行x轴
O点绕点B顺时针旋转90度
O(1,1)
OC方程y=1
OA=3
OC=OA
C(4,1)
设经过C点的抛物线为：y=(x-2)²+d
1=(4-2)²+d
d=-3
y=(x-2)²-3
y=x²-4x+1
(3)
y1=x²-4x+3 y2=x²-4x+1
y1=(x-1)²-3 y2=(x-1)²-3-3
A(0,3) A1(0,1) M(2,-1) M1(2,-3)
P(m,m²-4m+1)
y1 y2对称轴x=2
P到对称轴的距离为D1=|m-2|
P到y轴的距离为D2=|m|
AA1=2 MM1=2
S△PMM1=MM1*D1/2=|m-2|
S△PAA1=AA1*D2/2=|m|
S△PMM1=3S△PAA1
|m-2|=3|m|

0≤m≤2
无解

m>2 m<0
m-2=3m
m=-1
P(-1,6)

Answer 3

1) 将x=0,y=3代入知抛物线方程，得到c=3; 将x=1,y=0代入得到b=-4