Question

已知双曲线x2/9-y2/16=1的左右焦点分别为F1,F2若双曲线上一点P使得F1PF2=90°,求△F1PF2面积

Answer 1

由焦点焦点三角形的面积公式：若∠F1PF2=θ，则：S△F1PF2=b²/tan(θ/2)
所以，该题中，S△F1PF2=b²/tan45°=b²=16

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Answer 2

由给定的双曲线方程，得：a＝3、b＝4，∴c^2＝a^2＋b^2＝9＋16＝25。
∵∠F1PF2＝90°，∴由勾股定理，有：｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝｜F1F2｜^2＝4c^2＝100。
由双曲线定义，有：｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，
∴（｜PF1｜－｜PF2｜）^2＝36，∴｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2－2｜PF1｜｜PF2｜＝36，
∴100－2｜PF1｜｜PF2｜＝36，∴2｜PF1｜｜PF2｜＝64，∴（1/2）｜PF1｜｜PF2｜＝16。
∴S(△F1PF2)＝（1/2）｜PF1｜｜PF2｜＝16。