Question

已知函数f(x)=x-㏑x,g(x)=㏑x/x,求证:f(x)>g(x)+1/2

Answer 1

已知函数f(x)=x-㏑x，可得f‘(x)=1-1/x,令f’(x)=0
可得x=1，f(x)min=1
令g'(x)=(1-㏑x)/x²=0,
∴1-㏑x=0,x=e
g(x)max+1/2=1/e+1/2﹤1
所以f(x)>g(x)+1/2
做此类题目不会时要注意用导数！
给力点，跪求赞同啊！！

Answer 2

设h(x)=f(x)-g(x)-1/2=x-lnx-lnx/x-1/2
求一下单调性
h'(x)=1-1/x-(1-lnx)/x^2=(x^2-x-1+lnx)/x^2
设c(x)=x^2-x-1+lnx
c'(x)=2x-1+1/x其Δ<0则其恒>0即c(x)单调递增
又取x=1时c(x)=-1<0 取x=e时c(x)=e^2-e>0 则在(1,e)间有c(x)=0
则h(x)先递减后递增
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