Question

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点

已知函数f（x）=-x^3+ax^2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点且1是其中一个零点。（1）求f(2）的取值范围。（2）试探究直线y=x-1与函数y=f(x)的图像交点个数的情况，说明理由。

Answer 1

1)由题意，f(0)为极小值点，且极大值点x>1
f'(x)=-3x^2+2ax+b
f'(0)=b=0， f'(x)=x(-3x+2a), 故极大值点为x=2a/3>1, 即a>3/2
f(1)=-1+a+b+c=0=-1+a+c,即c=1-a
有3个零点，则极小值小于0，极大值大于0
即f(0)=c<0, f(2a/3)=-8a^3/27+4a^3/9+c=4a^3/27+1-a=1/27*(2a-3)^2(a+3)>0
f(2)=-8+4a+c=-8+4a+1-a=-7+3a>-7+3*3/2=-5/2

2)令g(x)=f(x)-(x-1)=-x^3+ax^2+1-a-x+1=-x^3+ax^2-x+2-a=-x^3+x^2+(a-1)x^2-(a-1)x+(a-2)x+2-a
=(x-1)[-x^2+(a-1)x+a-2]
至少有一个交点x=1
再由-x^2+(a-1)x+a-2=0, 得：delta=(a-1)^2+4(a-2)=a^2-2a+1+4a-8=a^2+2a-7=(a+1)^2-8=0， 得：a=2√2-1
由此得结论：
当a>2√2-1时，delta>0, 此时还有另2个交点， 即y=x-1与函数y=f(x)有3个交点
当a=2√2-1时，delta=0,此时还有1个交点，即y=x-1与函数y=f(x)有2个交点
当3/2<a<2√2-1时,delta<0, 此时没有另外的交点，即y=x-1与函数y=f(x)有1个交点

Answer 2

f(x)=-x³+ax²+bx+c①
f'(x)=-3x²+2ax+b ②
(1)
∵函数在(-∞,0)是减函数,在(0,1)上是增函数 即x=0 是极值点
故 x=0时,f'(x)=0,代入①得 b=0
∴f'(x)=-3x²+2ax=-x(3x-2a)

令f'(x)=-x(3x-2a)=0,解得 x=0 或 x=2a/3
∵f'(x)两零点为 0 ,2a/3 ,开口向下
又∵(-∞,0)减函数,f'(x)≤0,(0,1) 为增函数,即f'(x)≥0
∴2a/3≥1,即a≥3/2③
∵x=1时,f(1)=0,代入①
∴-1+a+c=0 ,c=1-a
∴f(x)=-x³+ax²+1-a⑥
∴f(x)=-(x³-1)+a(x²-1)=-(x-1)(x²+x+1-ax-a)=-(x-1)(x²+(1-a)x+1-a)
∵f(x)有三个零点
∴x²+(1-a)x+1-a=0有两个根
∴判别式 Δ>0 ,Δ= (1-a)²-4(1-a)=(a-1)(a+3)>0
∴a>1或a<-3③
综合③④得
a≥3/2,
f(2)=-2³+a*2²+1-a=-8+4a+1-a=3a-7≥3×3/2-7=-5/2
f(2)≥-5/2.

(2)
y=x-1跟⑥联立
(x-1)=-(x-1)(x²+(1-a)x+1-a)
(x-1)(x²+(1-a)x+2-a)=0 (x-1)=0 是其中一个交点
讨论x²+(1-a)x+2-a)=0的根情况
判别式Δ=(1-a)²-4(2-a)=(a+1)²-8 a≥3/2
当(a+1)²-8=0 即a=2√2-1时,直线跟y=f(x)有两个交点
当(a+1)²-8>0时,即a>2√2-1时,直线跟y=f(x)有3个交点,
当(a+1)²-8<0时,即3/2<a<2√2-1时,直线跟y=f(x)有1个交点