Question

解同余式6x^3+27x^2+17x+20≡(mod90)

Answer 1

题目转述：解同余式6xxx+27xx+17x+20==0 mod 90
其中xxx 表示x^3，xx表示x^2.
解： 原同余式等效于同余式组
6xxx+27xx+17x+20==0 mod 2 （A）且
6xxx+27xx+17x+20==0 mod 5 （B）且
6xxx+27xx+17x+20==0 mod 9 （C）
解（A）得x为任意整数。
解(B),即xxx+2xx+2x==0 mod 5, x==0,1,2 mod 5
解(C)，先解 6xxx+27xx+17x+20==0 mod 3, 得2x+2==0 mod 3,即 x==2 mod 3
即x==2,5,-1 mod 9, 代入(C)式即 6xxx-x+2==0 mod 9
可知 x==5 mod 9
综上，原同余式等价于同余式组
x==0,1,2 mod 5 且x==5 mod 9，即
在x=5+9t型数5,14,23,32,41中找满足x==0,1,2 mod5的数，即得
x mod 45 == 5, 32,41
此即原同余式的解。转换为模90，即
x mod 90==5,32,41,50,77,86

我在excel中验证过了，是对的：
在A1中输入公式：
=IF(MOD(6*ROW()^3+27*ROW()^2+17*ROW()+20,90)=0,ROW()," ")
公式的意义是说，用行号作为自变量x, 计算mod (6xxx+27xx+17x+20, 90)，如果为0，则显示行号x, 否则显示空白。
选中A1:A90, 按ctrl-D复制公式。
再筛选非空行，即得一列数字：5,32,41,50,77,86

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2020.01.30补充：
相关于此题，如果更改原题为
解同余式6xxx+27xx+17x+20==0 mod 18
其中xxx 表示x^3，xx表示x^2.
解： 原同余式等效于同余式组
6xxx+27xx+17x+20==0 mod 2 （A）且
6xxx+27xx+17x+20==0 mod 9 （C）

解（A）得x为任意整数。
解(C)，先解 6xxx+27xx+17x+20==0 mod 3, 得2x+2==0 mod 3,即 x==2 mod 3

即x==2,5,-1 mod 9, 代入(C)式。(C)式即 6xxx-x+2==0 mod 9
（代入检验）可知只能取 x==5 mod 9
综上，原同余式等价于同余式组
x==5 mod 9，
此即原同余式的解。转换为模90，即
x mod 90==5+9t mod 90，其中t为任意整数，进行无损于解集范围的简化，可取t=0到9.

在excel中验证过了，是对的：
在A1中输入公式：
=IF(MOD(6*ROW()^3+27*ROW()^2+17*ROW()+20,18)=0,ROW()," ")
公式的意义是说，用行号作为自变量x, 计算mod (6xxx+27xx+17x+20, 90)，如果为0，则显示行号x, 否则显示空白。
选中A1:A90, 按ctrl-D复制公式。
再筛选非空行，即得一列数字：

5
14
23
32
41
50
59
68
77
86