Question

椭圆x2/8+y2/4=1的上下顶点分别为A、B，直线l：y=kx+4与椭圆交于M、N两点，求直线AN与BM交点纵坐标。

已知椭圆x2/8+y2/4=1的上下顶点分别为A、B，直线l：y=kx+4与椭圆交于M、N两点，求直线AN与BM交点的纵坐标。

Answer 1

设直线AN与BM交点为T(t,m)
A(0,2)，B(0,-2)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)
K(AN)=K(AT)=(m-2)/t，K(BM)=K(BT)=(m+2)/t
则：K(AN)/K(BM)=(m-2)/(m+2)
设(m-2)²/(m+2)²=d
则：K²(AN)/K²(BM)=d
K(AN)=(y2-2)/x2，K(BM)=(y1+2)/x1
K²(AN)=(y2-2)²/x2²，K²(BM)=(y1+2)²/x1²
M，N在椭圆：x²/8+y²/4=1上，即：x²=8-2y²
所以，x1²=8-2y1²，x2²=8-2y2²
所以，K²(AN)=(y2-2)²/2(4-y2²)，K²(BM)=(y1+2)²/2(4-y1²)
整理得：K²(AN)=(2-y2)/2(2+y2)，K²(BM)=(2+y1)/2(2-y1)
则：K²(AN)/K²(BM)=(2-y2)(2-y1)/(2+y2)(2+y2)=d
4-2(y1+y2)+y1y2=d[4+2(y1+y2)+y1y2]
(d-1)y1y2+2(d+1)(y1+y2)+4d-4=0 ①
直线l：y=kx+4
k=0时，L：y=4，与椭圆无交点，所以，k≠0
即：x=(y-4)/k
代入椭圆：x²/8+y²/4=1上，即：x²=8-2y²得：(y-4)²/k²=8-2y²
整理得：(1/k²+2)y²-8y/k²+16/k²-8=0
y1y2=(16/k²-8)/(1/k²+2)，y1+y2=(8/k²)/(1/k²+2)
代入①得：(d-1)(16/k²-8)/(1/k²+2)+2(d+1)(8/k²)/(1/k²+2)+4d-4=0
(d-1)(4/k²-2)/(1/k²+2)+2(d+1)(2/k²)/(1/k²+2)+d-1=0
(d-1)(4/k²-2)+2(d+1)(2/k²)+(d-1)(1/k²+2)=0
(9d-1)/k²=0
所以，d=1/9
即：(m-2)²/(m+2)²=1/9
9(m-2)²=(m+2)²
[3(m-2)+(m+2)][3(m-2)-(m+2)]=0
(4m-4)(2m-8)=0
(m-1)(m-4)=0
所以，m=1或m=4
所以，直线AN与BM交点的纵坐标为1或4

ps：不知道题目的图是怎么画的，如果是AN与BM的交点在椭圆内，则纵坐标就是1；
如果AN与BM的交点在椭圆外，则纵坐标就是4

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O