Question

f(x)为分段函数,x<=1时f(x)=2/3x^3,x>1时f(x)=x^2 判断左右导数是否存在..求详解

Answer 1

f(1)=2/3

lim(Δx-->0-)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2/3(1+Δx)³-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δ²x+2Δx+Δ³x]/Δx
=lim(Δx-->0-)[2Δx+2+Δx]
=2
左导数存在

lim(Δx-->0+)[f(1+Δx)-f(1)]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(1+Δx)²-2/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[2Δx+Δ²x+1/3]/Δx
=lim(Δx-->0+)[(2+Δx)+1/(3Δx)]
=不存在
右导数不存在

∴f(x)在x=1处不可导

Answer 2

f(1)=f(1-)=2/3
f(1+)=1,
两者不等，即在x=1不连续，所以在x=1不存在导数

Answer 3

x<=1时 f(x)=-2/3x^3 f'(x)=-2*3x^2/3x^6
f ' (+1)=2
f ' (x)=2x 即 f ' (-1)= -2
f ' (+1)= f ' (-1)
所以 左右导数存在