Question

高中数学。几何问题 不要用空间向量证。

（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

Answer 1

（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

 

(1)解析：∵∠ACB=45°，BC=3，动点A沿AC边移动时，作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°

可见，0<高AD<BC

设AD=x==>AD=DC=x，BD=3-x

V(A-BCD)=1/3*x*1/2*x(3-x)  （0<x<3）

令f(x)=-1/6x^3+1/2x^2==> f’(x)=-1/2x^2+x=0==>x1=2,x2=0

∴函数f(x)在x1处取极大值f(2)=-4/3+2=2/3，在x2处取极小值

∴当BD的长为1时，三棱锥A-BCD的体积最大为2/3

 

(2)解析：当三棱锥A-BCD的体积最大时，AD=DC=2，BD=1

∵点E，M分别为棱BC，AC的中点

过M作MF⊥DC交DC于F，∴F为DC中点

连接BF，过E作EN ⊥BF交DC于N

∴BM⊥EN

∵∠BDC=90°，∴∠EFD=90°

∵BD=DF=1，∴BF=√(BD^2+DF^2)= √2，∠BFD=∠BFE=45°

∴∠FNE=∠FEN=45°==>EF=FN=1/2，NE=√2/2

MF=1，BM=√(BF^2+MF^2)= √3

BC=√(BD^2+DC^2)=√5，AB=√5，AC=2√2

过E作EG⊥BM交BM于G，G为BM中点

BN=√(AD^2+DN^2)=√5/2，MN=√(MF^2+FN^2)=√5/2

∴BN=MN

连接NG，∴NG⊥BM

GE=√(BE^2-BG^2)=√2/2，MN=√(BN^2-BG^2)=√2/2

∴GE=GN=EN

⊿ENG为等边三角形

∵BM⊥面NEG

∴∠ENG为EN与平面BMN所成角，其大小为60°

 

 

Answer 2

（1）设BD=x， 则 V= 1/2 x BD x DC x AD =1/2 x （3-x）（3-x）=1/2 （x³-6x²+9x）
对x³-6x²+9x求导，得y=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
当x<1或x>3时，原函数递增；当1<x<3时，原函数递减。
因此在区间（0，1）内，当且仅当x=1时 原函数有最大值，此时V=1/2 x 1 x 2 x 2 =2

（2） 第二题用几何麻烦死。。。。 用向量很简单。。。。 或者用空间坐标也行。

Answer 3

标准答案：

Answer 4

差点死掉彻底删除少食多餐