Question

数列不等式

递推式如图，Sn为其前n项和an+1=（（n+2）an²-nan+n+1）/(an²+1)
（1）若a1=1，求a2、a3、a4并推证数列｛an｝的通项公式；

（2）若a1属于[1/2,3/2]，求证|Sn-n(n+1)/2|＜1。

图片传了半天没有传上去。第一问可以直接忽略。

Answer 1

第一问，根据前几个，猜想通项公式为n，验证。

第二问，注意到n(n+1)/2 为n 的前n项和。 考察an-n
an-n= （（n+1）an-1²-(n-1)an-1+n）/(an-1²+1) -n 通分，有 an-1(an-1 - (n-1))/(an-1^2 +1)

猜想|an-n|< 1/2^n n=1 成立， 假设n-1 成立， 只需证 an-1/an-1^2 +1 <1/2 这个证明是很明显的，直接交叉相乘配成完全平方就可以了。 于是有|an-n|< 1/2^n 成立两边同时求n项和，再利用一次绝对值不等式，有|Sn-n(n+1)/2|<|a1-1|+|a2-2|+。。。+|an-n|<1