Question

设n阶方阵A的秩为n-1，a1，a2，是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解向量

设n阶方阵A的秩为n-1，a1，a2，是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解向量，则x=0的通解为什么是k（a1-a2）？

Answer 1

对！
秩为n-1，说明方程组只有一个自由未知量，基础解系中应该只有一个向量（且是非0向量）。
现在a1，a2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解向量，其中可能有一个为0向量，但这两个向量的差绝对不会是0向量，所以通解是k（a1-a2）。

追问

那为什么不能是k（a1+a2）呢

追答

如果a1与a2是互为负向量，它们相加就变成0向量了，0向量不能做基础解系的。

Answer 2

这是因为
1. a1-a2 是 Ax=0 的解
2. a1-a2 ≠ 0
3. Ax=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个向量
所以 a1-a2 是 Ax=0 的基础解系.

追问

那为什么不能是k（a1+a2）呢

追答

a1+a2 可能等于0