Question

一个数有36个因数,这个自然数最小是多少?

Answer 1

这是一道很有趣的题！一楼的答案是正确的，以下给出详细的解释：

因1只有一个因数，显然这个最小的自然数不会是1
又因每一个大于1的正整数能分解成有限个质因数（素数）的积（唯一分解定理）
不妨令这个最小自然数为T=n1^a1 * n2^a2 * ... nk^ak
这里n1、n2、...、nk为不同的尽可能小的质因数（素数），且令n1<n2<...<nk
而这里a1、a2、...、ak为正整数，且a1≥a2≥...≥ak≥1

以下要论证一个结论：上述自然数T的因数的个数为Nk=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)
（1）当k=1时，T=n1^a1，易知其因数有n1、n1^2、...、n1^a1，这里有a1个因数，而1是任意自然数的的公因数，所以共计因数N1=a1+1个。结论成立
（2）当k=2时，T=n1^a1 * n2^a2，则由（1）知n1^a1 中含n1的因数有a1个，n2^a2中含n2的因数有a2个，而含n1n2的因数有a1a2个，加上公因数1共计因数N2=a1+a2+a1a2+1=(a1+1)(a2+1)。结论也成立
（3）当k=3时，T=n1^a1 * n2^a2 * n3^a3，则
n1^a1 中含n1的因数有a1个
n2^a2中含n2的因数有a2个
n3^a3中含n3的因数有a3个
含n1n2的因数有a1a2个
含n2n3的因数有a2a3个
含n3n1的因数有a3a1个
含n1n2n3的因数有a1a2a3个
加上公因数1，共计因数N3=a1+a2+a3+a1a2+a2a3+a3a1+a1a2a3+1=(a1+1)(a2+1)(a3+1)。结论也成立
（4）由此可推断：自然数T的因数的个数为Nk=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)
该结论还可以由乘法原理解释：由（1）知，对于每一个ni^ai（1≤i≤k）都有(ai+1)个因数，而每一个ai是独立的，则所有的因数就是Nk=(a1+1)(a2+1)...(ak+1)

再回到本题：依题易知(a1+1)(a2+1)...(ak+1)=36
因a1≥a2≥...≥ak≥1
则(a1+1)≥2、(a2+1)≥2、...(ak+1)≥2
而2^5=32，2^6=64
显然k≤5，也就是说具有36个因数的自然数中最多有5个质因数n1、n2、...、n5
同时还说明36最多能分解出5个不小于2的因数
事实上36=18*2=9*4=6*6=6*3*2=3*3*2*2
（1）若36=18*2，即a1=17，a2=1
为使T最小，则取n1=2，n2=3
此时T=2^17 * 3^1
（2）若36=9*4，同理得到T=2^8 * 3^3
（3）若36=6*6，同理得到T=2^5 * 3^5
（4）若36=6*3*2，同理得到T=2^5 * 3^2 * 5^1
（5）若36=3*3*2*2，同理得到T=2^2 * 3^2 * 5^1 * 7^1
比较（1）~（5）的数值易知Tmin=2^2 * 3^2 * 5^1 * 7^1=1260

Answer 2

最小是1*(2^2)*(3^2)*(5^1)*(7^1)=1260

因为36=(2^2)*(3^2)

追问

能再详细点吗？

追答

因数总数为各质因数幂加一的乘积，而因数种类越多意味着能有效的降低其他因数的幂，因此36拆成最多的因数3*3*2*2，当然小的质因数越多，总值就越小，因此2和3为2次幂，5，7为1次幂

追问

我们小学还没学，看不太懂

追答

...这...
知识点不知道的话怎么解释都很难啊
首先，质因数概念了解的吧。通过质因数的种类和个数就能很简单的算出一个数因数的多少。
就是每个质因数的乘方数+1，然后再把所有的结果相乘就能得到。
这道题就是反过来，因为知道总的因数个数a，于是把这个数a进行因数分解，所得到的各个因数就可以看成每个质因数乘方数+1的值，因为有各种不同的因数分解结果，从而就可以得到不同的数，每个数的因数都是36个。而要求是求最小值，因此把36分解为尽量多的因数，这样就可以充分的减小这个要求的数的值，因此36=3*3*2*2，每个质因数分别由3-1，3-1，2-1，2-1个。当然因数总数相同的情况下，因数越小值越小，因此(2*2)*(3*3)*5*7 （2有(3-1)个，3有(3-1)，5有(2-1)个，7有(2-1)个）。

Answer 3

2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*61*67*71*73*79*83*89*97*101*103*107*109*113*119*131*133*137*139*149*151

Answer 4

2^36=
68719476736​