Question

多元函数微分

设x+z=yf(x^2-z^2)，
求

Answer 1

两端对x求偏导：
1+z'x=yf'(x^2-z^2)(2x-2zz'x)
[1+2yzf'(x^2-z^2)]z'x=2xyf'(x^2-z^2)-1
z'x=[2xyf'(x^2-z^2)-1]/[1+2yzf'(x^2-z^2)]
两端对y求偏导：
z'y=f(x^2-z^2)+yf'(x^2-z^2)(-2zz'y)
[1+2yzf'(x^2-z^2)]z'y=f(x^2-z^2)
z'y=f(x^2-z^2)/[1+2yzf'(x^2-z^2)]
∴zz'x+yz'y=[2xyzf'(x^2-z^2)-z]/[1+2yzf'(x^2-z^2)]+yf(x^2-z^2)/[1+2yzf'(x^2-z^2)]
=[yf(x^2-z^2)+2xyzf'(x^2-z^2)-z]/[1+2yzf'(x^2-z^2)]

追问

可你知道吗，答案等于x，就是如此的简单，WHY？

追答

再化一步就是了，利用x+z=yf(x^2-z^2)，
[yf(x^2-z^2)+2xyzf'(x^2-z^2)-z]/[1+2yzf'(x^2-z^2)]
=[x+z+2xyzf'(x^2-z^2)-z]/[1+2yzf'(x^2-z^2)]
=x