Question

已知圆C：x²＋6x＋y²－4y＋12＝0，求过点p（－2，4）的圆C的切线方程。高二数学，在线等解

Answer 1

解答：
圆C：x²＋6x＋y²－4y＋12＝0，
∴ x²＋6x＋9+ y²－4y＋4=-12+9+4
∴ (x+3)²+(y-2)²=1
∴ 圆心是C(-3,2),半径是1
∵切线过P(-2,4)
分类讨论：
（1）直线斜率不存在
则直线方程为x=-2
此时，圆心C(-3,2),到x=-2的距离是1
∴ x=-2是圆的一条切线
（2）直线斜率存在
设直线方程为y-4=k(x+2)
∴ 直线方程是kx-y+2k+4=0
∵ 直线与圆相切，
∴ 圆心C(-3,2),到直线的距离等于半径1
∴ |-3k-2+2k+4|/√(k²+1)=1
∴ |-k+2|=√(k²+1)
两边平方
∴ k²-4k+4=k²+1
∴ -4k=-3
∴ k=3/4
∴ 直线方程是y-4=(3/4)(x+2)
即 y-4=(3/4)x-3/2.
化简得切线方程是： 3x-4y+22=0
综上，过点p（－2，4）的圆C的切线方程是x=-2或3x-4y+22=0

Answer 2

x²＋6x＋y²－4y＋12＝0 整理
(x+3)²+(y-2)²=1
圆心O为(-3,2)
OP⊥切线,所以切线的斜率等于-1/K(op) (两垂直线,斜率的乘积=-1)
O为(-3,2),p（－2，4）
K(op)=(4-2)/(-2+3)=2
所以切线的斜率为 -1/2.
切线过p,则切线方程为
y-4=-1/2(x+2) 即
y=-1/2x+3

Answer 3

已知圆C：x²＋6x＋y²－4y＋12＝0，求过点p（－2，4）的圆C的切线方程

解：园C：(x+3)²+(y-2)²=1，园心C(-3，2)；半径R=1；注意P(-2，4)不在园上，因为其坐标不满足
园C的方程。
园C的导函数y'=-(x+3)/(y-2)；设切点Q的坐标为(m，n)，那么PQ所在直线的斜率K=-(m+3)/(n-2)；
即有等式：(n-4)/(m+2)=-(m+3)/(n-2)
去分母得(n-4)(n-2)=-(m+3)(m+2)，展开化简得：
m²+5m+n²-6n+14=0.............(1)
Q在园上，故其坐标满足园的方程，因此有等式：
m²+6m+n²-4n+12=0.............(2)
(2)-(1)得m+2n-2=0...............(3)
由(3)得m=2-2n，代入(1)式得：
(2-2n)²+5(2-2n)+n²-6n+14=0
展开化简得：
5n²-24n+28=(5n-14)(n-2)=0
故得n₁=2，n₂=14/5；相应地，m₁=2-4= -2；m₂=2-28/5= -18/5；
于是得切线的斜率K₁=∞；K₂= -(-18/5+3)/(14/5-2)=(3/5)/(4/5)=3/4；
故切线有两条，方程为：x=-2； y=(3/4)(x+2)+4=(3/4)x+11/2.
第二个方程改写成一般式可能更好看点：3x-4y+22=0

Answer 4

圆C：(x+3)²+(y-2)²=1
∴ 圆心是C(-3,2)，半径r=1
若直线CP的斜率存在，设y-4=k(x+2)，即kx-y+2k+4=0
∴|-3k-2+2k+4|/√(k²+1)=1，解得k=3/4
∴ 切线方程是y-4=(3/4)(x+2)，3x-4y+22=0.
若斜率不存在，则过点(-2,4)的直线为x=-2，也是圆的切线
∴切线方程是：3x-4y+22=0和x=-2

Answer 5

圆C：x²＋6x＋y²－4y＋12＝0配方，
(x+3)^2+(y-2)^2-9-4+12=0,
(x+3)^2+(y-2)^2=1,圆心（-3,2），

已知点P（-2,4），作图可知过P点垂直于x轴的直线x=-2，是过P点的圆C 的切线之一，

另外，设过P点的斜率为k，则过P点的直线方程为y-4=k(x+2),即kx+2k+4-y=0.设直线与圆C相切，则圆心到直线距离为圆的半径，

将圆心带入点到直线距离公式得∣-3k+2k+4-2∣/√k^2+1=1解得k=3/4,

则过P点的圆C的切线方程为y-4=(3/4)(x+2),
即3x-4y+22=0

Answer 6

原式化简=（x+3）^2+(y-2)^2=1 可知 圆心（-3,2）半径1
圆心和切点连接成的直线L1斜率为k1=（4-2）/（-2+3）=2
则过P切线方程L的斜率k2=-1/K1=-1/2
设L为y=k2x+b即y=-1x/2+b 因为过点p，
所以4=1+b 得b=3
所以过p的切线方程为y=-1x/2+3
或x+2y-6=0