Question

间断点问题

间断点问题：①y=x^3-x/sinπx；②y=x^2-x/sinx(x^3-1)；③y=x^2-x/|sinx|(x^2-1) 分别有多少个第一类间断点 【给出过程或判断方法】

Answer 1

间断点问题：①y=x^3-x/sinπx；②y=x^2-x/sinx(x^3-1)；③y=x^2-x/|sinx|(x^2-1) 分别有多少个第一类间断点

解：①y=(x³-x)/sinπx；间断点有：x=0，x=1，x=-1，x=K(K∈Z，但K≠0，1，-1)
x➔0limy=x➔0lim(x³-x)/sinπx=x➔0lim(3x²-1)/[πcosπx]= -1/π，故x=0是第一类间断点；

x➔±1limy=x➔±1lim(x³-x)/sinπx=x➔±1lim(3x²-1)/[πcosπx]= -2/π，故x=±1是第一类间断点；

x➔Klimy=x➔Klim(x³-x)/sinπx=∞，故x=K(K∈Z，但K≠0和±1)是第二类间断点。

②y=(x²-x)/[(sinx)(x³-1)]=x(x-1)/[(sinx)(x-1)(x²+x+1)]=x/[(sinx)(x²+x+1)]

故x=1是可去间断点(第一类)；
x➔0limy=x➔0lim{x/[(sinx)(x²+x+1)]}=x➔0lim{x/[x(x²+x+1)]}=x➔0lim[1/(x²+x+1)]=1，
故x=0是第一类间断点x=0时函数无定义，但x➔0时y的极限存在)。
③y=(x²-x)/[|sinx|(x²-1)]=x(x-1)/[|sinx|(x+1)(x-1)]=x/[|sinx|(x+1)]

故x=1是可去·间断点(一类)；
x➔0+limy=x➔0+lm{x/[|sinx|(x+1)]}=x➔0+lm{x/x(x+1)]}=x➔0+lm[1/(x+1)]=1
x➔0-limy=x➔0-lm{x/[|sinx|(x+1)]}=x➔0-lm{x/(-x)(x+1)]}=x➔0+lm[-1/(x+1)]=-1

故在x=0处，左右极限都存在但不相等，且y(0)不确定，故x=0是第一类间断点。
当x=-1时，y(-1)无定义，且x➔-1limy=x➔-1lim{x/[|sinx|(x+1)]}=∞，故x=-1是第二类间断点。