Question

证明级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*sin(π∕(n+1))是绝对收敛

Answer 1

显然级数为莱布尼茨级数，由于通项绝对值趋于0，故收敛
而∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))的通项sin(π/(n+1))~π/(n+1)且∑(n=1到∞)π∕(n+1)发散，
故原级数条件收敛
按照你改正后的那就太容易啦
证明级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1))是绝对收敛

显然级数证明级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1))是绝对收敛收敛（莱布尼茨判别法）
证明级数∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))/π^n收敛即可
由于∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))/π^n<lim(n->inf)1/π^n=1/(π-1)为有限数，故有比较判别法知
级数∑(n=1到∞)sin(π∕(n+1))/π^n收敛
故原级数绝对收敛

Answer 2

因为对于任意n>=2，sin(π∕(n+1))<sin(π∕n)，并且当n-->0时，sin(π∕(n+1))-->0
而∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)有界
所以有莱布尼茨交错级数判别法可知∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*sin(π∕(n+1))收敛。

你确定你题目没抄错？？这个应该是条件收敛的，sin（π∕(n+1))~π∕(n+1) ，n-->+inf

追问

证明级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1))是绝对收敛

追答

这样就没问题了 前面证明收敛思路类似的

后面的话你用| (-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1)) |<=1∕(π^n)
∑(n=1到∞)1∕(π^n)是收敛的，所以由比较级数判别法可知
∑(n=1到∞) | (-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1)) |是收敛的
所以交错级数∑(n=1到∞)(-1)^(n-1)*1∕(π^n)*sin(π∕(n+1））绝对收敛

Answer 3

因为比例级数 bn= (1/π)^n 收敛 ，用比较判别法判定 lim (an/bn) =sin[π/(n+1)]=0 则 an也绝对收敛 、、、、an是级数的绝对值

Answer 4

题不对啊，这明显是条收