Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，

在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．

Answer 1

解：（1）猜想：AB=AC+CD．
证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+DE=AC+CD．
（2）猜想：AB+AC=CD．
证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD．
∴ED=CD，∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB．
又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B．
∴EB=ED．
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD．

Answer 2

解：因为 AD是∠BAC的平分线
所以 ∠BAD=∠DAC
又因为 AE=AC AD=AD
所以 △ADE全等于△ACD
所以 DE=CD
因为 ∠ACB=2∠B，∠C=90°
所以 ∠B=30° ∠ACB=60°
因为 AD是∠BAC的中分线
所以 ∠BAD=30°
所以 ∠BDA=120°
因为 △ADE全等于△ACD
所以 ∠ADC=∠ADE=60°
所以 ∠BDE=30°
所以 △BED是等腰三角形
所以 EB=ED
因为 AE=AC
所以 AB=AC+CD

Answer 3

解：（1）猜想：AB=AC+CD．
证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴EB=ED，
∴EB=CD，
∴AB=AE+DE=AC+CD．
（2）猜想：AB+AC=CD．
证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴ED=CD，∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB，又∠ACB=2∠B
又∵∠FED=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，
∴∠EDB=∠B，
∴EB=ED．
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD．