Question

如图 在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线y=x²+bx+c经过A(0,3),B(1,0)两点,顶点

（2）将三角形OAB绕点B顺时针旋转90度后，点A落到点C的位置，该抛物线沿Y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的表达式；（3）设（2）中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线 ，且满足三角形PMM1的面积是三角形PAA1面积的3倍，求点P的坐标。
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Answer 1

在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x²+bx+c经过A(0,3),B(1,0)两点,顶点为M;
(1)求b､c的值
(2)将三角形OAB绕点B顺时针旋转90度后,点A落到点C的位置,该抛物线沿Y轴上下平移后经过点C,求平移后所得抛物线的表达式;
(3)设(2)中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1,顶点为M1,若点P在平移后的抛物线,且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍,求点P的坐标｡

解：
(1)
A(0,3),B(1,0)代入抛物线y=x²+bx+c
c=3
y=x²+bx+3
B(1,0)代入抛物线y=x²+bx+3
0=1+b+3
b=-4
抛物线为：y=x²-4x+3
y=(x-2)²-1
(2)
OA在y轴上
绕点B顺时针旋转90度
OC平行x轴
O点绕点B顺时针旋转90度
O(1,1)
OC方程y=1
OA=3
OC=OA
C(4,1)
设经过C点的抛物线为：y=(x-2)²+d
1=(4-2)²+d
d=-3
y=(x-2)²-3
y=x²-4x+1
(3)
y1=x²-4x+3 y2=x²-4x+1
y1=(x-1)²-3 y2=(x-1)²-3-3
A(0,3) A1(0,1) M(2,-1) M1(2,-3)
P(m,m²-4m+1)
y1 y2对称轴x=2
P到对称轴的距离为D1=|m-2|
P到y轴的距离为D2=|m|
AA1=2 MM1=2
S△PMM1=MM1*D1/2=|m-2|
S△PAA1=AA1*D2/2=|m|
S△PMM1=3S△PAA1
|m-2|=3|m|

0≤m≤2
无解

m>2 m<0
m-2=3m
m=-1
P(-1,6)

Answer 2

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