Question

在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，D是线段BC上的一个动点（不与点B重合），DE⊥BE于

在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，D是线段BC上的一个动点（不与点B重合），DE⊥BE于E，∠EBA=1/2∠ACB,DE与AB相交于点F。
（1）当点D与点C重合时，探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明。
（2）当点D与点C不重合时，（如图二），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由。
（1）
（1）

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Answer 1

因为在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC
所以∠ABC=∠ACB,
设AB=AC=1，则CD=根号2
因为DE⊥BE
所以∠E=90°
又因为∠BFE=∠AED
所以∠EBF=∠ADE
所以△ADF∽△EBF
BE/BF=AD/DF
因为∠EBA=1/2∠ACB
所以∠EBF=∠ADE=∠BDF
则AF/BF=AD/BD=1/根号2
则BF=2-根号2，AF=根号2-1
则在△ADF中，DF=根号（4-2根号2）
因此BE=1/2根号（4-2根号2）
所以BE=1/2FD
2）当点D与点C不重合时，（1）中的猜想仍然成立
过点D作AB 的垂线转化为（1）

另一种
作线段CF的中垂线，垂足为H,交BC于点G,连接FG
则FG=GC,FH=CH=1/2CF
∠GFC=∠GCF
因为在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC
所以∠ABC=∠ACB,=45°
因为∠EBA=1/2∠ACB
所以∠EBF=∠ACE=∠BCF=∠CFG=22.5°
则∠BGF=∠CFG+∠GCF=45°
因此，BF=GF
所以△BEF≌△FHG
所以BE=FH=1/2CF