Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）（x，y＞0），f（2）=1．

求f(2^n)(n属于N*)

Answer 1

f(2)=1
f(2*2)=f(2)+f(2)=2f(2)=2
f(2*2*2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2)=3
....
f(2^n)=nf(2)=n

Answer 2

+

利用递推关系：

将以上各式子相加，可以消去中间项， 则得到f(2^n)=n+f(1)， 因为f(2)=f(1)+f(2), 所以f(1)=0, 即f(2^n)=n