Question

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,且A点坐标为（-8,0），B点坐标为（2,0），以AB的中点P为圆心,

AB为直径作圆P与Y轴的负半轴交于点C （1）求图像经过A、B、C三点的抛物线解析式 （2)设M点为（1）中抛物线的顶点为M，求直线MC的解析式 （3）判断（2）中直线MC与圆P的位置关系，并说明理由 （4）过圆点坐标O作直线BC的平行线OG，与（2）中的直线MC相交于点G，连接AG，求点G的坐标，并证明AG垂直于MC

Answer 1

解：（-8+2）÷2=-3，[2-（-8）]÷2=5，P点坐标为（-3,0），圆方程为（x+3）²+y²=5²，将x=0代入该方程，求得y=±4，C点坐标为（0，-4）。
（1）设抛物线方程为y=a（x+3）²-b，将ABC三点坐标代入，解出a=1/4，b=25/4，y=0.25（x+3）²-25/4
（2）根据对称性，M点的x=-3，代入方程求得y=-25/4，M（-3，-25/4）。直线MC的两点式解析式[y-（-4）]/(-25/4+4)=[(x-0)/(-3-0)，y=（3/4）x-4
（3）直线MC的斜率为k=3/4，直线PC的斜率为h=(0+4)/(-3-0)=-4/3，k=-1/h，因此，直线MC与圆半径所在直线PC垂直，因此直线MC是圆P的切线。
（4）直线OG和BC的斜率f=(0+4)/(2-0)=2。线OG为y=2x，与y=（3/4）x-4联立，求G点坐标为（-16/5，-32/5）。直线AG斜率为j=(0+32/5)/(-8+16/5)=-4/3，因为j=-1/k，于是AG垂直于MC。

写了这么多，累坏我了。