Question

如图,已知,直线PA交圆O于A,B两点,AE是圆O的直径,点C位圆O上一点,且AC平分角PAE,过C做CD垂直PA.

若CD=2AD，圆O的直径为10，求线段AC的长。请尽量快些，谢谢！

Answer 1

连接BC,OC 因为AE为直径，则角ACB未直角 又因为AC平分角PAE CD⊥PA
所以角ABC=角DCA 角OCB+OCA=90度，那么角OCD为90度，且OC为半径，所以CD为圆O的切线
（2） 连接CO，过点A作AF垂直于OC于F,设AD=x，则DC=6-x由勾股定理得到(6-x)^2+(5-x)^2=5^2 求得x=9(舍去) x=2 则CD=6-2=4 连接BC 从而求得三角形CDB相似于三角形CDA
有对应边的比 CD/DB(DA+AB)=DA/CD 即：4/（2+AB）=2/4 从而求得AB=6
：（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．

解答：（1）证明：连接OC
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∵AC平分∠PAE
∴∠DAC=∠CAO
∴∠DAC=∠OCA
∴PB∥OC
∵CD⊥PA
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
即（5-x）2+（6-x）2=25，
化简得x2-11x+18=0，
解得x1=2，x2=9．
∵CD=6-x不能小于0，故x=9舍去，
∴x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=6．

Answer 2

设AD=x, 则CD=2x
AC=(根号5)X
连接CE
因角DAC=角CAE
所以：RT三角形DAC相似于RT三角形CAE
DA/CA=CA/AE
DA*AE=CA^2
x*10=5x^2
x=2
所以：AC==(根号5)X=2(根号5)