Question

利用简单随机抽样 从n个个体抽取容量为10的样本。若第二次抽取时 余下的每个个体被抽取的概率为1/3，

利用简单随机抽样 从n个个体抽取容量为10的样本。若第二次抽取时 余下的每个个体被抽取的概率为1/3，整个过程中每个个体被抽取的概率是
我知道答案是5/14
但是我们假设物体是第二次被抽到
那么他的概率就是9/14*1/3=3/14不等于5/14了吗?
他们的概率不都应该相等吗！！

Answer 1

每一个个体被抽到的概率是都相等的，都是5/14. 请注意所求的概率是“整个过程中每个个体被抽取的概率”。
假设总共有n个个体，第一次抽走一个以后，还剩n-1个个体，若第二次抽取时余下的每个个体被抽取的概率为9/(n-1)=1/3,于是n=28。

你假设物体(不妨记该物体为A)是第二次被抽到，实事上，它也可能第一次被抽到，也有可能在第三次，第四次，...，第十次被抽到，而你只是求出了一种情况而已，我们所求的是“整个过程中每个个体被抽取的概率”，而不是求它是第几次被抽到的概率.所以我们应该考虑全面。若用Ai表示物体A在第i次被抽到，则所求的概率应该是P(A1UA2U...UA10),但这些事件是两两互不相容的(互斥)，所以这10个事件的和的概率应该等于这10个事件的概率之和. 不难算出每一个事件的概率都是1/28。所以所求的概率是10个1/28, 也就是5/14. 以下计算P(Ai)=1/28.
从28个物体中先后抽取10个物体，共有28X27X...X19种抽取方法(不难理解吧？)
若物体A在第i次被抽取到，则共有27X26X...X1X...19种抽取方法(其中第i次只有物体A一种选择).

于是P(Ai)=(27X26X...X1X...19)/(28X27X...X19)=1/28.
如果一个物体在每次抽取到的概率是不一样的，那么在所有比赛中，抽签就没有公平可言了.
既然先抽和后抽其概率是一样的，所以这个问题也可用组合的方法来解。在28个物体中一次取10个，总的取法为C^10_28, 而A被抽到的方法有C^9_27种，则物体A被取到的概率也是5/14.

Answer 2

第一次抽走一个，样本总数剩余n-1个，还需抽取10-1=9个
每一个被抽到的概率=9/（n-1）=1/3
则n=28
刚开始每个个体被抽到的概率=10/28=5/14
同学这个没错啊，第一次抽走后，剩下的被抽到的概率就变了。

Answer 3

第二个被抽中有两种情况要考虑第一个是否被抽中