Question

高等数学证明数列收敛

f(x)是[1,﹢∞)上非负，单调减，an=∑(1,n) f(k) - ∫(1,n+1)f(x)dx (n=1,2....)
证明{an}是收敛数列。

Answer 1

不难证明数列是单调增的，于是数列极限存在.

Answer 2

关键的一步，通过图形看出f(k)>∫(k,k+1)f(x)dx>f(k+1)
1）即证出a(k)-a(k-1)=f(k)-∫(k,k+1)f(x)dx>0,
an单调增
2）an=f(1)+∑(2,n) f(k) - ∫(1,n+1)f(x)dx
因为∫(k,k+1)f(x)dx>f(k+1)，所以∑(2,n) f(k) - ∫(1,n+1)f(x)dx<0
所以an<f(1),an有界
3）所以an收敛

追问

那f(1)是正无穷的话？ an<f(1)就不能证明有界了

追答

题目是闭区域，你可以怀疑x趋近于1，f（x）趋于无穷。
但没有可能该点函数值为无穷。
f（1）是一个固定的数

你见过哪个函数闭区域有无穷点的？

Answer 3

由单调性（严格单调无=）有
积分（k-1，k)f(x)dx>=f(k)>=积分（k，k+1）f(x)dx

(1)f(k)>=积分（k，k+1）f(x)dx
ak+1-ak>=0单调增
（2）积分（k-1，k)f(x)dx>=f(k)
an+1-f(1)+f(n)<=0
an+1<=f(1)-f(n)<=f(1)有上界