Question

设抛物线y^2=8x的焦点为F,倾斜角为锐角的直线l经过F,且与抛物线相交於A,B两点。若F是缐段A

设抛物线y^2=8x的焦点为F,倾斜角为锐角的直线l经过F,且与抛物线相交于A,B两点。若F是缐段AB的一个3等分点，则l的斜率为？

Answer 1

 

令直线L交抛物线的点A在x轴上方

因直线L的倾斜角为锐角

则由对称性易知，焦点F分弦AB必使得FA>FB

于是由题知FA=2/3AB，FB=1/3AB

 

令A、B到准线的距离分别为da、db

由抛物线定义知

da=FA=2/3AB

db=FB=1/3AB

 

过B作da的垂线交da于C

则AC=da-db=1/3AB

由勾股定理有BC=2√2/3

 

令AB倾斜角为a（注意到它为锐角）

由三角函数定义知tana=BC/AC=2√2

由斜率与倾斜角关系知k=tana=2√2

Answer 2

设A(a²/8, a), B(b²/8, b)
y² = 8x = 2*4x, F(2, 0)
AB的方程: (y - b)/(a - b) = (x - b²/8)/(a²/8 - b²/8) = (8x - b²)/(a² - b²)
y - b = (8x - b²)/(a + b)
直线l经过F: -b = (16 - b²)/(a + b)
b = -16/a
B(32/a², -16/a)
F是缐段AB的一个3等分点, 则:
(1) AF = AB/3
(a - 0)/(a + 16/a) = 1/3
a = ±2√2
A(1, 2√2): 斜率k = (2√2 - 0)/(1 - 2) = -2√2 (<0, 舍去)

或A(1, -2√2): 斜率k = (-2√2 - 0)/(1 - 2) = 2√2

或
(2) AF = 2AB/3
(a - 0)/(a + 16/a) = 2/3
a = ±4√2
A(4, 4√2): 斜率k = (4√2 - 0)/(4 - 2) = 2√2
或A(4, -4√2): 斜率k = (4√2 - 0)/(4 - 2) = -2√2 (< 0, 舍去)

AB的斜率k = 2√2