Question

高一数学几何问题

求二面角A－CF－B的余弦值

能不能过B做AF的垂线即M说∠BFM既为二面角（最后算的和答案不一样）
求解释

Answer 1

过B做AF的垂线并不垂直于面ACF，所以说是不对的。

可以过A做面BCF的垂线，因为是直三棱柱，所以易知AB⊥面BCF。
再过B作BO⊥CF，连结AO。易知O为CF中点。∠AOB是二面角A－CF－B的平面角。
很容易计算，BO＝2√2，AB＝4，∠ABO＝90º。所以，AO＝2√6。cos∠AOB=⅓√3。

Answer 2

不能“过B做AF的垂线即M说∠BFM既为二面角”
因为二面角的定义：属于两个面的两条直线如果它们都垂直于两个面的交线，那么他们所成的角度既为二面角，而AF不是两个面的交线且BF也不属于平面BCF

这道题的解法：
做BG⊥CF，BG交CF于点G，连接AG
∵多面体为直三棱柱，∴AB⊥面BFC，∴BG为AG在面BFC内的投影
∵BG⊥CF，∴AG⊥CF（如果一条线的投影垂直于两个面的交线，那么这条线也垂直于交线）
根据二面角定义，∠AGB既为二面角A－CF－B，所以只需要求出∠AGB的余弦值就行了
∵BC=BF=4，BC⊥BF，∴CF²=BC²+BF²，∴CF=4√2，∵BG⊥CF
∴S△BFC=1/2·BG·CF=1/2BC·BF，∴BG=2√2
∵AB⊥面BFC，BG属于面BFC，∴AB⊥BG，∴AG²=AB²+BG²，∴AG=2√6
∴cos∠AGB=BG/AG=√3/3，既二面角A－CF－B的余弦值为√3/3

Answer 3

先回答你问题再给你解释
首先多面体是直三棱柱
∴AB⊥△BCF
△CBF是直角三角形
∴取CF中点P,连接AF,BF，则AF⊥CF,BF⊥CF，
∴∠APB就是二面角的平面角，（注意BP为RT△CBF斜边上的中线，△ABP也是RT）
再往下就不用我说了吧
解释就是你看图时方位可能看错了，BF是RT△的直角边，不可能⊥斜边CF

Answer 4

不可以
最后做出的二面角的两条边都必须垂直于两个面的交线即CF，显然BF、FM与CF都不垂直
应该取CF的中点G，因为BC=BF，所以BG⊥CF，又易知AC=AF，所以AG⊥CF，∠AGB为二面角

Answer 5

用向量法算！