Question

f(x)=log2(ax²+2x-3a),如果f(x)>=1在区间【2,3】上恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=log₂(ax²+2x-3a),如果f(x)>=1在区间[2，3]上恒成立，求实数a的取值范围

解：f(x)=log₂(ax²+2x-3a)≧log₂2在区间[2，3]上恒成立，故得：ax²+2x-3a≧2在[2，3]上恒成立；
即有G(x)=ax²+2x-3a-2=a(x²+2x/a)-3a-2=a[(x+1/a)²-1/a²]-3a-2=a(x+1/a)²-(1/a)-3a-2≧0在[2，3]上
恒成立。为此，必须分几种情况进行讨论：
(一).当a<0，G(x)开口朝下，只需G(2)=4a+4-3a-2=a+2>0，即0>a>-2...............①；
且G(3)=9a+6-3a-2=6a+4>0，即0>a>-2/3.............②；
①∩②＝{a∣0>a>-2/3}..............(A)；
(二).当a>0，G(x)开口朝上，此时只需其最小值-(1/a)-3a-2≧0，也就是只需
(1/a)+3a+2=(3a²+2a+1)/a≦0，此不等式的分子的判别式△=4-12=-8<0，故对任何a>0该不等式恒成立，所以无需讨论a>0.......(B)的情况。
A∩B={a∣a>-2/3}，这就是a的取值范围。

Answer 2

解：f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立等价于ax²+2x-3a-2≥0在区间[2，3]上恒成立
由ax²+2x-3a-2≥0且x∈[2，3]时，x2-3＞0，得a≥(2-2x)/(x²-3)
令h(x)=(2-2x)/(x²-3)，
则h′（x）=(2x²-4x+6)/(x²-3)²＞0
所以h（x）在区间[2，3]上是增函数，
所以h（x）max=h（3）=-2/3
因此a的取值范围是[-2/3，+∞）．

望采纳，若不懂，请追问。

追问

则h′（x）=(2x²-4x+6)/(x²-3)²＞0
怎么出来的

追答

刚刚电脑死机了、求导而来。

追问

没学过求导。。还是感谢哈~~

追答

估计你是高二的，如果学过基本不等式，楼下的方面也可以。

追问

我是高一的。。。

追答

那你采纳的那个答案你应该也不是很理解，这个题目你可以从对勾函数下手。

Answer 3

f(x)>=1,即有:ax^2+2x-3a≥2 即a(x^2-3)≥2-2x
x^2-3>0在[2,3]上恒成立
所以有:a≥(2-2x)/(x^2-3)=-2/[(x-1)-2/(x-1)+2]
x=3时不等号右边取得最大-2/3
所以有:a≥-2/3

追问

a≥(2-2x)/(x^2-3)=-2/[(x-1)-2/(x-1)+2]
怎么出来的

追答

(2-2x)/(x^2-3),(分子分母同除以x-1)

=-2/[(x^2-3)/(x-1)]
=-2/{[(x-1)^2+2(x-1)-2]/(x-1)}
=-2/[(x-1)-2/(x-1)+2]