Question

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=√6,点E是棱PB的中点 求直线AD与平面PBC

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD PA＝AB＝√6 点E是棱PB的中点 1 求直线AD与平面PBC的距离 2若AD等于√3 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值 求详细解答

Answer 1

1、∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴只要在AD上取任一点至平面PBC的距离就是AD至平面PBC的距离，这里选A点。
设BC=a,A至平面PBC距离为h,
S△ABC=AB*BC/2=√6a/2,
∴VP-ABC=PA*S△ABC/3=a,
∵AP=AB=√6，
∴PB=√2AB=2√3，
根据三垂线定理，BC⊥PB，
∴<PBC=90°，
S△PBC=PB*BC/2=√3a,
VA-PBC=h*S△PBC/3=√3ah/3,
∵VP-ABC=VA-PBC,
∴√3ah/3=a,
∴h=√3，
AD与平面PBC的距离为√3。
2、作BM⊥CE，垂足M，连结DM，
BE=PB/2=√3，
BC=AD=√3，
∴△BEC是等腰RT△，
∴M是CE的中点，
MB=CE/2=√6/2，
根据勾股定理，BD=√（AB^2+AD^2)=3,
PD=3,
∴△DPB是等腰△，
∴DE⊥PB，
∴DE=√（PD^2-PE^2)=√6=DC，
∴△DEC是等腰△，
∴DM⊥CE，
∴〈BMD是二面角A-EC-D的平面角，
∵DE=CD=CE=√6，
∴△DEC是正△，
∴DM=（√3/2）*√6=3√2/2，
在△BDM中，根据余弦定理，
cos<BMD=(BM^2+DM^2-BD^2)/(2BM*DM)=-√3，
∴二面角A-EC-D的平面角的余弦值为-√3，二面角是钝角。

当然也可建系，不用费脑子。

Answer 2

1、PA⊥底面ABCD =>PA⊥AD，PA⊥BC，PB=2√3
底面ABCD为矩形 =>AD⊥AB，BC⊥AB
所以AD⊥面PAB，BC⊥面PAB
又 PA＝AB＝√6 点E是棱PB的中点=>AE⊥PB，PE=BE=√3
AE在面PAB内=>BC⊥AE
所以AE⊥面PBC，即AE等于直线AD与平面PBC的距离，AE=√3
2、AD=√3，AB＝√6=>AC=3
AE⊥CE=>CE=√6
BC=AD=√3=BE，CE=√6，BE⊥BC，点E是棱PB的中点=>CE⊥PB
所以PB⊥面ACE
作EF⊥AC，连接BF，即<EFB为二面角A-EC-D的平面角的余角
EF=√2，BE=√3=>BF=√5
COS（180-<EFB）=-√2/√5