Question

设p是椭圆x²/9+y²/4=1上任意一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,则cos角F1PF2的最小值是

Answer 1

记m = |PF1|, n = |PF2|,那么
|PF1|+|FP2|= 2a = 6,也就是m+n = 6,m,n＞0
另外|F1F2|=2c=2√5
由余弦定理，
cos∠F1PF2 = (m²+n²- |F1F2|²) / 2mn
= (m²+n²-20)/2mn
= [(m+n)²-2mn-20]/2mn
= (16-2mn)/mn
= 16/mn - 2
所以mn最大时，cos∠F1PF2最小，
也就是m=n=3时，cos∠F1PF2最小，为16/9 - 2 = -2/9.

追问

那个，答案A，1/2, B1/9 C5/9 D-1/9,好像没有你的-2/9?能不能继续帮检查下，还是这4个答案都是错的？

追答

cos∠F1PF2 = (m²+n²- |F1F2|²) / 2mn
= (m²+n²-20)/2mn
= [(m+n)²-2mn-20]/2mn
= (16-2mn)/2mn
= 8/mn -1
所以mn最大时，cos∠F1PF2最小，
也就是m=n=3时，cos∠F1PF2最小，为8/9 -1 = -1/9.

选择D