Question

1/sinx的不定积分如何求？

Answer 1

∫1/sinxdx=∫cscxdx

=∫cscx*(cscx-cotx)/(cscx-cotx)dx

=∫(-cscxcotx+csc²x)/(cscx-cotx)dx

=∫d(cscx-cotx)/(cscx-cotx)

=ln|cscx-cotx|+C

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

∫ 1/sinx dx = ∫ cscx dx
= ∫ cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx
= ∫ (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx
= ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)
= ln|cscx - cotx| + C

∫ 1/sinx dx
= ∫ 1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx
= ∫ 1/[cos²(x/2)tan(x/2)] d(x/2)
= ∫ 1/[tan(x/2)] d[tan(x/2)]
= ln|tan(x/2)| + C

∫ 1/sinx dx = ∫ sinx/sin²x dx
= ∫ 1/(cos²x - 1) d(cosx)
= (1/2)∫ [(cosx + 1) - (cosx - 1)]/[(cosx + 1)(cosx - 1)] d(cosx)
= (1/2)∫ [1/(cosx - 1) - 1/(cosx + 1)] d(cosx)
= (1/2)ln|(cosx - 1)/(cosx + 1)| + C
= (1/2)ln|[2sin²(x/2)]/[2cos²(x/2)]| + C
= (1/2) * 2ln|tan(x/2)| + C
= ln|tan(x/2)| + C

万能代换：令y = tan(x/2)、dx = 2dy/(1 + y²)、sinx = 2y/(1 + y²)
∫ 1/sinx dx = ∫ 1/[2y/(1 + y²)] * 2dy/(1 + y²)
= ∫ (1 + y²)/(2y) * 2dy/(1 + y²)
= ∫ 1/y dy
= ln|y| + C
= ln|tan(x/2)| + C

这几个答案都可以互相转换的。
其中ln|tan(x/2)| = ln|sin(x/2)/cos(x/2)| = ln|[2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]|
= ln|sinx/(1 + cosx)| = ln|[sinx(1 - cosx)]/[(1 + cosx)(1 - cosx)]|
= ln|(sinx - sinxcosx)/sin²x| = ln|1/sinx - cosx/sinx| = ln|cscx - cotx|

Answer 3

∫1/sinxdx=ln|tanx/2|+C=ln|cscx-cotx|+C

∫1/sinxdx=ln|tanx/2|+C=ln|cscx-cotx|+C

∫1/sinxdx=∫sinxdx/sin²x=ʃdcosx/(cos²x-1)=ʃdt/(t²-1)=1/2ln|(t-1)/(t+1)|+C=1/2 ln|(cosx-1)/cosx+1)|+C
=ln|(sinx/2)/(cosx/2)|+C=ln|tanx/2|+C

Answer 4

解：∫1/sinxdx

=∫1/(2sin(x/2)*cos(x/2))dx

=1/2∫(sin²(x/2)+cos²(x/2))/(sin(x/2)*cos(x/2))dx

=1/2∫sin²(x/2)/(sin(x/2)*cos(x/2))dx+1/2∫cos²(x/2)/(sin(x/2)*cos(x/2))dx

=1/2∫sin(x/2)/cos(x/2)dx+1/2∫cos(x/2)/sin(x/2)dx

=-1/2∫1/cos(x/2)dcos(x/2)+1/2∫1/sin(x/2)dsin(x/2)

=-1/2ln|cos(x/2)|+1/2ln|sin(x/2)|+C

=1/2|tan(x/2)|+C

扩展资料：

1、三角函数基本公式

（1）二倍角公式

sin2x=2sinxcosx、cos2x=2cos²x-1=1-2sin²x、tan2x=2tanx/(1-tan²x)

（2）两角和差公式

sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB、cos(A+B）=cosAcosB-sinAsinB、cos(A-B）=cosAcosB+sinAsinB

2、不定积分的求解方法

（1）换元积分法

例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C

（2）积分公式法

例：∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

参考资料来源：百度百科-三角函数

参考资料来源：百度百科-不定积分