Question

求椭圆的长短轴，或者化成标准方程。XYABC五个参数。 A*(x-X)^2 + 2*B*(x-X)*(y-Y) + C*(y-Y)^2 = 1

Answer 1

这个涉及两步，第一步是平移，第二步试旋转。

1. 平移

将椭圆向左平移X, 向下平移Y得到: Ax² + 2Bxy + Cy² = 1        (i)

2. 旋转

设将坐标系逆时针旋转θ, 新坐标系为x'Oy'

x' = xcosθ - ysinθ

y' = xsinθ + ycosθ

可解得:

x = x'cosθ + y'sinθ

y = -x'sinθ + y'cosθ

代入(i):

A(x'cosθ + y'sinθ)² + 2B(x'cosθ + y'sinθ)(-x'sinθ + y'cosθ) + C(-x'sinθ + y'cosθ)² = 1

(Acos²θ - 2Bsinθcosθ + Csin²θ)x'² + (Asin²θ + 2Bsinθcosθ + Ccos²θ)y'² 

+ (2Asinθcosθ + 2Bcos²θ - 2Bsin²θ - 2Csinθcosθ)x'y' = 1

化成标准方程, 须2Asinθcosθ + 2Bcos²θ - 2Bsin²θ - 2Csinθcosθ = 0

(A - C)sin(2θ) - 2B(cos²θ - sin²θ) = 0

(A- C)sin(2θ) = 2Bcos(2θ)

tan(2θ) = 2B/(A - C)

由此可求出θ, 以及x'², y'²的系数

图中是用A = 3, B = 3, C = 4作例子。