Question

已知抛物线C：y^2=2px（p>0)的焦点F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点

已知抛物线C：y^2=2px（p>0)的焦点F，过F且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A,B两点，若线段AB的中点到抛物线C准线的距离为4，则p的值为

Answer 1

设A

设A(x1,y1)  B(x2,y2)

y1^2=2px1   y2^2=2px2

相减：

(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)

(y1-y2)/(x1-x2)    *(y1+y2)=2p

其中(y1-y2)/(x1-x2)是AB的斜率,为1

（y1+y2）/2为AB中点纵坐标，

得：y1+y2=2p

又AB过焦点(p/2,0)，则AB方程为：y=x-p/2     

y1=x1-p/2

y2=x2-p/2

相加：y1+y2=x1+x2-p

x1+x2=y1+y2+p   

而(x1+x2)/2=(y1+y2+p)/2=(2p+p)/2=3p/2

即AB中点横坐标3p/2

由于次准线到AB中点距离为：p/2+3p/2=2p

2p=4

p=2

Answer 2

到准线距离为p+p\2

Answer 3

P=1
设直线L：y=x-p/2,联立方程C和L，得xˆ2-3px+pˆ2/4=0.求得x1+x2=3.由题知X1+X2+P=4,所以p=1