Question

已知函数f(x)=x+1/x+m为奇函数 (1)求m的值（2）用定义证明函数f（x）在【1，正无穷）上是增函数

Answer 1

(1)
由 f(x)=-(f-x) 得 m=0
故 f(x)=x+1/x=(x^2+1)/x
(2)
对任意 1<=a<b
f(b)-f(a)=(b^2+1)/b-(a^2+1)/a
=(ab^2+a-a^2b-b)/ab
=[ab(b-a)-(b-a)]/ab
=(b-a)(ab-1)/ab >0
即 f(b)>f(a)
所以 f(x) 在 [1, 正无穷）上是增函数

Answer 2

f（x）=-f（-x）， f(x)=x+1/x+m f(-x)=-x-1/x+m,得：m=-m, m=0
所以f(x)=x+1/x, x>=1
f(1)=2
对于任意x1,x2,满足x2>x1>1都有：
f(x1)=x1+1/x1>2√[x1(1/x1)]=2=f(1)
f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-(x1+1/x1)=x2-x1+(x1-x2)/x1x2=(x2-x1)(1-1/x1x2)
因为x2>x1>1, 所以x1x2>1, 1/x1x2<1, 1-1/x1x2>0, 而x2-x1>0
所以f(x2)>f(x1)>f(1)
根据定义，f(x)在[1,+∞)上是增函数

Answer 3

（1）m=0;由于f（x）是奇函数，所以f（x）=f（-x），计算就得到m=0(2)由于x和1/x都是{1,正无穷}的增函数，所以增函数十增函数