Question

f(xy)=xf(y)+yf(x) 求f(x)

任取x y∈R

Answer 1

挺好的题

f(xy)=xf(y)+yf(x) --- (1)
设y=c=常量
则：f(cx)=cf(x)+f(c)x
两边求导数
f'(cx)*c=cf'(x)+f(c)
cf'(cx)-cf'(x)=f(c)
此式对任意x成立，所以，我们取x=1
则：cf'(c)-cf'(1)=f(c)
此式对任意c成立，所以c可以看做变量，而f'(1)总是个定值
我们取c为x
则：xf'(x)-f'(1)x=f(x)
f'(x)-[f(x)/x]=f'(1) ---(2)

令f'(x)-[f(x)/x]=0
则：df(x)/f(x)=dx/x
lnf(x)=lnx+c1
f(x)=cx
其中c可以看做是x的函数，
所以，令f(x)=x*u(x)，代入(2)得：
(u+xu')-u=f'(1)
u'=f'(1)/x
u=f'(1)ln|x|+m, m为常量
所以：f(x)=(f'(1)ln|x|+m)x
当x>0, 则：f(x)=(f'(1)lnx+m)x
f'(x)=f'(1)lnx+m+f'(1)
所以：f'(1)=m+f'(1)
m=0
f'(1)可以取任意定值，所以我们把它记作c,c为任意常量
则：f(x)=cxln|x|, 此式的定义域为：x不等于0,
将它带回方程(1), 方程(1)成立，
所以，f(x)=cxln|x|, 是在x不等于0时方程(1)的解

再回头看方程(1)
当x=0,y=0
则得：f(0)=0

总结以上得：
当x不等于0时，f(x)=cxln|x|, c为任意常量
当x=0时，f(x)=0

Answer 2

令x=y=1，则有：
f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=2f(1)
所以：
f(1)=0.

再令x=y=-1,则有：
f(1)=-f(-1)-f(-1)
所以：
2f(-1)=-f(1)=0
所以：
f(-1)=0

令y=-1，则有：
f(-x)=xf(-1)-f(x)
所以：
f(x)+f(-x)=0.
即f(x)为奇函数。