Question

设X，Y为相互独立的随机变量，且均服从N(0,1)，求E[min(X,Y)]

Answer 1

Z=min(X,Y),Fmin(z)=1- {1-FX(z)}{1-FY(z)}.对Fmin(z)关于z求导，则求出min（X,Y）的概率密度.那么求E[min(X,Y)]根据公式即可！
还有一种解法：Z=min(X,Y)=1/2（X+Y-|X-Y|） 则E（Z）=E(1/2（X+Y-|X-Y|） )=1/2E(X)+1/2E(Y)-1/2E(|X-Y|）
显然E(X)=E(Y)=0而X-Y~N(0,2)，那么下面的就好做了！

Answer 2

记Z=min(X,Y)]，X分布函数F1(x)，Y分布函数F2(y)，F1=F2
Z分布函数F(z)=P[Z<z]=1-P[Z>z]=1-P[min(X,Y)>z]=1=P[X>z,Y>z]=1-P(X>z)P(Y>z)
=1-[1-F1(z)][1-F2(z)]=2F1(z)-F(z)^2
在两边求导，求出Z的密度函数，然后E（min（x，y））就可以求出了》