设A是线性空间V的一个线性变换，证明下列两个条件是等价的： A把V中某一线性无关的向量变成一组线性相关的
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(1)到(2)
a1,...,as 线性无关
Aa1,...,Aas线性相关
则存在一组不全为0的数使得 k1Aa1+...+ksAas = 0
所以 A(k1a1+...+ksas) = 0
因为 a1,...,as 线性无关, 故 k1a1+...+ksas≠0. (2)成立.
(2)到(1)
设Aa=0, a≠0
则a线性无关, 0线性相关, (1)满足.
a1,...,as 线性无关
Aa1,...,Aas线性相关
则存在一组不全为0的数使得 k1Aa1+...+ksAas = 0
所以 A(k1a1+...+ksas) = 0
因为 a1,...,as 线性无关, 故 k1a1+...+ksas≠0. (2)成立.
(2)到(1)
设Aa=0, a≠0
则a线性无关, 0线性相关, (1)满足.
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