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已知函数f(x)是(0,+∞)上的可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立.
(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.(2)当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)...
(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
(2)当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2) 展开
(2)当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2) 展开
3个回答
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1、因为g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2
又xf'(x)>f(x) 在x>0时恒成立 所以xf'(x)-f(x)>0
所以g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2>0在x>0时恒成立
函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
2、由1知函数g(x)= f(x)/x在(0,+∞)上是增函数,
所以当x1>0,x2>0时,有x1+x2>x1 有g(x1+x2)>g(x1)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)/x1,
从而x1*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)
同理有x1+x2>x2 有g(x1+x2)>g(x2)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)/x2成立,
从而x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)
两式相加得x1*f(x1+x2)/(x1+x2)+x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
又xf'(x)>f(x) 在x>0时恒成立 所以xf'(x)-f(x)>0
所以g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2>0在x>0时恒成立
函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
2、由1知函数g(x)= f(x)/x在(0,+∞)上是增函数,
所以当x1>0,x2>0时,有x1+x2>x1 有g(x1+x2)>g(x1)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)/x1,
从而x1*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)
同理有x1+x2>x2 有g(x1+x2)>g(x2)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)/x2成立,
从而x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)
两式相加得x1*f(x1+x2)/(x1+x2)+x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
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第一问求导,分子由题设大于0,分母亦是,所以g(x)为增函数,第二问不妨设x1小于等于x2,由第一问f(x1+x2)/x1+x2大于f(x2)/x2,x2f(x1+x2)大于f(x2)(x1+x2),又因为f(x2)/X2大于等于f(x1)/X1,所以x2f(x1+x2)大于f(x1)x2+f(x2)x2,得证
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第一问直接求道,不多说了,第二问,不妨设X1.>=X2,则F(X1+X2)>=(X1+X2)/X1(F(X1)=F(X1)+X2F(X1)/X1>=F(X1)+F(X2),(X1+X2>X1>=X2),证毕。
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